对于R及R的态φ，必存在
希尔伯特空间H，向量ξ∈H，以及R在H上的表示ψ，使ψφ是以ξφ为循环向量的循环表示，而且还满足φ(x)= (ψφ,(x)ξφ,ξφ)，这就是GNS构造。
对于有
单位元的
巴拿赫*代数A上
正线性泛函ρ，必存在A在
希尔伯特空间H上的以ξ为
循环向量的
循环表示π，而且还满足ρ(x)=(π(x)ξ,ξ)，这就是GNS构造。
态与GNS构造是C*代数中最重要的部分，并且它们还有重要的物理意义。如果C*代数相应于量子系统的
可观测量代数，那么态就是量子系统的
量子态，而公式ρ(x)=(π(x)ξ,ξ)恰为观察量x在状态ρ中的期望值。
设R是有单位元e的巴拿赫*代数，H是希尔伯特空间。若存在R到H上的
有界线性算子全体𝓑(H)中的保单位元的*同态ψ，则称ψ是R在H上的
表示。
如果ψ是
单射，则称ψ是忠实表示。如果存在ξ∈H，使{ψ(x)ξ|x∈R}在H中稠密，则称ψ是循环表示，而相应的ξ称为循环向量。忠实表示必是保范的。