IEEE二进制浮点数算术标准（IEEE 754）是20世纪80年代以来最广泛使用的浮点数运算标准，为许多CPU与浮点运算器所采用。这个标准定义了表示浮点数的格式（包括负零-0）与反常值（denormal number）），一些特殊数值（无穷（Inf）与非数值（NaN）），以及这些数值的“浮点数运算符”；它也指明了四种数值舍入规则和五种例外状况（包括例外发生的时机与处理方式）。

一个浮点数 (Value) 的表示其实可以这样表示：

也就是浮点数的实际值，等于符号位（sign bit）乘以指数偏移值(exponent bias)再乘以分数值(fraction)。

以下内文是IEEE 754对浮点数格式的描述。

把W个比特（bit）的数据，从内存地址低端到高端，以0到W−1编码。通常将内存地址低端的比特写在最右边，称作最低有效位（Least Significant Bit,LSB），代表最小的比特，改变时对整体数值影响最小的比特。声明这一点的必要性在于X86体系架构是小端序的数据存储。

对于十进制整数N，必要时表示为N10以与二进制的数的表示N2相区分。

对于一个数，其二进制科学计数法表示下的指数的值，下文称之为指数的实际值；而根据IEEE 754标准对指数部分的编码的值，称之为浮点数表示法指数域的编码值。

指数偏差

指数偏差（表示法中的指数为实际指数减掉某个值）为 ，其中的e为存储指数的比特的长度。减掉一个值因为指数必须是有号数才能表达很大或很小的数值，但是有号数通常的表示法——补码（two's complement），将会使比较变得困难。为了解决这个问题，指数在存储之前需要做偏差修正，将它的值调整到一个无符号数的范围内以便进行比较。此外，指数采用这种方法表示的优点还在于使得浮点数的正规形式和非正规形式之间有了一个平滑的转变。

指数偏移值

指数偏移值（exponent bias），是指浮点数表示法中的指数域的编码值为指数的实际值加上某个固定的值，IEEE 754标准规定该固定值为 ，其中的 为存储指数的比特的长度。

以单精度浮点数为例，它的指数域是8个比特，固定偏移值是 。此为有号数的表示方式，单精度浮点数的指数部分实际取值是从-127到+128。例如指数实际值为 ，在单精度浮点数中的指数域编码值为 ，即 。

采用指数的实际值加上固定的偏移值的办法表示浮点数的指数，好处是可以用长度为 个比特的无符号整数来表示所有的指数取值，这使得两个浮点数的指数大小的比较更为容易，实际上可以按照字典序比较两个浮点表示的大小。

这种移码表示的指数部分，中文称作阶码。

规约形式的浮点数

如果浮点数中指数部分的编码值在 之间，且在科学表示法的表示方式下，分数 (fraction) 部分最高有效位（即整数字）是1，那么这个浮点数将被称为规约形式的浮点数。“规约”是指用唯一确定的浮点形式去表示一个值。

由于这种表示下的尾数有一位隐含的二进制有效数字，为了与二进制科学计数法的尾数（mantissa）相区别，IEEE754称之为有效数（significant）。

举例来说，双精度 (64-bit) 的规约形式浮点数在指数偏移值的值域为 (11-bit) 到 ，在分数部分则是 到 (52-bit)。

非规约形式的浮点数

如果浮点数的指数部分的编码值是0，分数部分非零，那么这个浮点数将被称为非规约形式的浮点数。一般是某个数字相当接近零时才会使用非规约型式来表示。 IEEE 754标准规定：非规约形式的浮点数的指数偏移值比规约形式的浮点数的指数偏移值小1。例如，最小的规约形式的单精度浮点数的指数部分编码值为1，指数的实际值为-126；而非规约的单精度浮点数的指数域编码值为0，对应的指数实际值也是-126而不是-127。实际上非规约形式的浮点数仍然是有效可以使用的，只是它们的绝对值已经小于所有的规约浮点数的绝对值；即所有的非规约浮点数比规约浮点数更接近0。规约浮点数的尾数大于等于1且小于2，而非规约浮点数的尾数小于1且大于0。

除了规约浮点数，IEEE754-1985标准采用非规约浮点数，用来解决填补绝对值意义下最小规格数与零的距离。（举例说，正数下，最大的非规格数等于最小的规格数。而一个浮点数编码中，如果exponent=0，且尾数部分不为零，那么就按照非规约浮点数来解析）非规约浮点数源于70年代末IEEE浮点数标准化专业技术委员会酝酿浮点数二进制标准时，Intel公司对渐进式下溢出（gradual underflow）的力荐。当时十分流行的DECVAX机的浮点数表示采用了突然式下溢出（abrupt underflow）。如果没有渐进式下溢出，那么0与绝对值最小的浮点数之间的距离（gap）将大于相邻的小浮点数之间的距离。例如单精度浮点数的绝对值最小的规约浮点数是 ,它与绝对值次小的规约浮点数之间的距离为 。如果不采用渐进式下溢出，那么绝对值最小的规约浮点数与0的距离是相邻的小浮点数之间距离的 倍！可以说是非常突然的下溢出到0。这种情况的一种糟糕后果是：两个不等的小浮点数X与Y相减，结果将是0.训练有素的数值分析人员可能会适应这种限制情况，但对于普通的程序员就很容易陷入错误了。采用了渐进式下溢出后将不会出现这种情况。例如对于单精度浮点数，指数部分实际最小值是（-126），对应的尾数部分从 , 一直到 相邻两小浮点数之间的距离（gap）都是 ；而与0最近的浮点数（即最小的非规约数）也是 。

特殊值

这里有三个特殊值需要指出：

如果指数是0并且尾数的小数部分是0，这个数±0（和符号位相关）

如果指数= 并且尾数的小数部分是0，这个数是±∞（同样和符号位相关）

如果指数= 并且尾数的小数部分非0，这个数表示为不是一个数（NaN）。

以上规则，总结如下：

32位单精度

单精度二进制小数，使用32个比特存储。

S为符号位，Exp为指数字，Fraction为有效数字。 指数部分即使用所谓的偏正值形式表示，偏正值为实际的指数大小与一个固定值（32位的情况是127）的和。采用这种方式表示的目的是简化比较。因为，指数的值可能为正也可能为负，如果采用补码表示的话，全体符号位S和Exp自身的符号位将导致不能简单的进行大小比较。正因为如此，指数部分通常采用一个无符号的正数值存储。单精度的指数部分是−126～+127加上偏移值127，指数值的大小从1～254（0和255是特殊值）。浮点小数计算时，指数值减去偏正值将是实际的指数大小。

单精度浮点数各种极值情况：

64位双精度

双精度二进制小数，使用64个比特存储。

S为符号位，Exp为指数字，Fraction为有效数字。指数部分即使用所谓的偏正值形式表示，偏正值为实际的指数大小与一个固定值（64位的情况是1023）的和。采用这种方式表示的目的是简化比较。因为，指数的值可能为正也可能为负，如果采用补码表示的话，全体符号位S和Exp自身的符号位将导致不能简单的进行大小比较。正因为如此，指数部分通常采用一个无符号的正数值存储。双精度的指数部分是−1022～+1023加上1023，指数值的大小从1～2046（0（2进位全为0）和2047（2进位全为1）是特殊值）。浮点小数计算时，指数值减去偏正值将是实际的指数大小。

浮点数基本上可以按照符号位、指数域、尾数域的顺序作字典比较。显然，所有正数大于负数；正负号相同时，指数的二进制表示法更大的其浮点数值更大。

任何有效数上的运算结果，通常都存放在较长的寄存器中，当结果被放回浮点格式时，必须将多出来的比特丢弃。 有多种方法可以用来运行舍入作业，实际上IEEE标准列出4种不同的方法：

标准运算

下述函数必须提供:

加减乘除（Add、subtract、multiply、divide）。在加减运算中负零与零相等：

平方根（Square root）： ，另规定

浮点余数。返回值 。

近似到最近的整数 。如果恰好在两个相邻整数之间，则近似到偶数。

比较运算. -Inf

特殊比较： -Inf = -Inf, Inf = Inf, NaN与任何浮点数（包括自身）的比较结果都为假，即 (NaN ≠ x) = false.

在二进制，第一个有效数字必定是“1”，因此这个“1”并不会存储。

单精和双精浮点数的有效数字分别是有存储的23和52个位，加上最左手边没有存储的第1个位，即是24和53个位。

由以上的计算，单精和双精浮点数可以保证7位和15位十进制有效数字。

C++语言标准定义的浮点数的十进制精度(decimal precision)：十进制数字的位数，可被(浮点数)表示而值不发生变化。C语言标准定义的浮点数的十进制精度为：十进制数字的位数q，使得任何具有q位十进制数字的浮点数可近似表示为b进制的p位数字并且能近似回十进制表示而不改变这q位十进制数字

但由于相对近似误差不均匀，有的7位十进制浮点数不能保证近似转化为32比特浮点再近似转化回7位十进制浮点后保持值不变：例如8.589973e9将变成8.589974e9。这种近似误差不会超过1比特的表示能力，因此(24-1)*std::log10(2)等于6.92，下取整为6，成为std::numeric_limits::digits10以及FLT_DIG的值。std::numeric_limits::max_digits10的值为9，含义是必须9位十进制数字才能区分float的所有值；也即float的最大表示区分度。

类似的，std::numeric_limits::digits10或DBL_DIG是15，

std::numeric_limits::max_digits10是17

以下的C++程序，概略地展示了单精和双精浮点数的精度。