min是数学用语,全拼是minimum,中文名是最小值,和max相对。min最小值通俗的理解就是没有比它更小的,在数学中通常定义为一个集合中最小的元素,即在给定的一堆数据中最小的那个值,找不到比它更小的值,这个就是最小值。min无论是在数学中还是其他领域都是一个极其重要的概念,作为最小值,代表了对边界的刻画,因此应用领域十分广泛,求解或逼近最小值成为非常热门的研究问题。
基本定义
表示中最小的那个值,例如:.
值得注意的是,不是所有集合都存在最小值,例如:实数集R没有最小值。
函数最小值
局部最小
设函数在区间上有定义, 。若存在的某一邻域 , 使得对去心邻域 中任一 , 有 , 那么,就称 是是上的一个极小值(局部最小值),称为 在 上 的一个极小值点。
全局最小
设函数 在 上有定义, 是上一点。若对任意的 , 有 , 则称 是 在上的最小值 (全局最小值), 称为 在上的最小值点。
值得注意的是,极小值是一个局部概念,最小值是一个全局性概念。 也就是说,极小值是函数在一点的某一小邻域内的最小值,但最小值是函数在区间上的最小值。极小值只能在区间的内部取到,但最小值可能在的内部取到,也可能在的边界点处取得。
最值定理
定理 2.3 若函数在闭区间[a,b] 上连续, 则它在[a,b]上必能取到最大(小)值, 即存在 和 , 对于一切 成立
应用领域
求解最小值问题一直是数学理论研究中的重要内容之一,但又不仅仅局限于此,在其他学科和生产实践中存在着许多和最小值有关的优化问题。 比如在工农业生产、 自然科学、工程技术和经济发展这类问题中出现的最小成本、最小误差、最短路径、最短时间等一系列问题,其实质都是求解函数最小值问题,都可以利用数学方法予以解决。