n维微分流形是从直线、曲线、平面、曲面、几何体等等图形抽象出来的概念，1维、2维流形很容易画出来，高维的流形就很难画出来了。从字面翻译来看，流形不是图形，流形是软的可以流动拉伸变形，图形是“硬”的，不变的。微分流形更是光滑的流形，说它光滑就是每一个点都有无穷维导数存在，是连续可导的，没有突变的光滑形状。但是总可以找到一种方法将n维的空间的图形通过一种固定的转化运算一 一对应的转化到流形上去，而且这种转化是可微的。n维微分流形也简称n维流形。来看n维微分流形的例子。一维流形，一维流形的例子，最简单的是空间中的一根曲线，例如螺旋线，它本来是3维立体空间中的一条曲线，图形也是直观的、可见的，找到一种螺旋线在Z轴上的投影为计算方法，那么螺旋线上的任何一点，都可以唯一的投影到Z轴上，投影也只有一个点，z轴上的任何一点也有且仅有一个点可以映射到螺旋线上，这样在3维立体曲线与Z轴这个一维图形之间就建立了一个处处可微的映射，螺旋线就是一个一维微分流形，3维立体图形，简称为一维流形，说成流形它就只有一维，作为图形它实际是3维的。流形的概念使曲线最本质的东西是只在一维发生变化被抽象出来，尽管它本身占据了3维的空间，但是多余的维度在流形中被删除掉了。沿着曲线的路程变化就是在Z轴上的爬升，这个曲线上的蚂蚁只能感受到的唯一变化量被流形概念突出出来。

M通常就是一个Hausdorff拓扑空间，所谓空间，就是一系列的几何，例如一系列的点，一系列的面，一系列的体等等，也可以是一系列的非数学概念的集合。Hausdorff空间就是只要集合中两个元素如果不相同，那么它们之间总可以找到两个没有公共部分的集合分别包含了这两个元素，即即使两个点挨得再近，只要不是完全想等，那么它们之间就总是有一段距离，只是这个距离有远有近，不至于出现不同的点却没有距离的现象，这就是Hausdorff空间，就是不同点之间就有或大或小的距离。这种空间中由点组成的图形，很复杂，就算再怎么复杂，如果它可以分割成一个一个简单局部的非空集合的并集Ua,每一个并集中的小集合，不管这个小集合是几维空间中的什么图形，总之通过某种映射，它可以从n维空间中的图形转换而来，而且每个点都与这个n维图形对应。如果小集合之间有重合的部分，则这些重合的部分在一个小集合中的点可以方便的从n维集合中对应到若干维空间中，再从若干维空间逆映射到n维的另一个小集合中，即可以从一个图按照对应关系连接到另一个图，所有的图组成图册，每个小图拼成一个大图。其中最容易理解的例子是地球地图，大地球就是一个3维曲面图形，这个图形，有形，可见，它可以看作是很多国家的地图的图册，每个国家都会将自己周围的地区也比照的画在地图上，成为一个国家小平面地图，每个国家的平面图就是小集合，他们组成地球这个大集合，地球这个三维的大集合可以是每个国家的小平面二维图形拼接而成的，世界每个国家的地图订装为图册即是M，每个国家的图就是图Ua，地图这个三维图形就降维成为2维流形，成了局部小平面图，最本质的东西，东西南北多少公里的感觉被展现出来，而地面的弯曲是这个图形的整体属性，人根本感受不到，在图中也不必要体现，这就是2维流形嵌入3维空间的例子。同理可以将n维流形，嵌入到m维的空间之中，将1维流形嵌入到三维空间中就是大家看到的空间曲线；将1维流形嵌入到二维空间中就是大家看到的平面曲线，或者曲面上的曲线；将1维流形嵌入到1维线上，这个更简单，就是曲线到曲线上的变换；将1维流形嵌入到4维空间中，就无法在纸面上或者三维立体空间当中展示出来了，这时只能靠想象。再来说2维流形嵌入3维空间中，就是空间中的曲面，曲面上的经线纬线就是二维流形的坐标；2维流形就无法嵌入1维空间中，所以被嵌入的空间维度总要大些，这也是流形的映射性质决定的，二维流形，两个变量坐标，无法找到一种映射将1维空间同胚映射到2维空间中那就凭空产生了一个变量，所以流形的维度总要小些，而它嵌入的空间维度总要大些。3维以上的空间又很难直观画出来。这就是理解上的难处。

由3维曲面的切向量开始引申，二维流形的切向量即是R对坐标u、v的导数，它们的叉积即是法向量，由此引申，n维流形的切向量就是对n维坐标的偏导数.于是就用偏导数代替局部方向，

模式识别中用来降维处理，广义相对论中伪黎曼空间就是个4维空间他有4个维度，空间三个xyz轴时间一个维度it其中i是虚数单位，空间的三个维度线性无关，即两两点乘的结果，x.x=1,x.y=0,x.z=0,相同方向点乘结果为1，不同方向点乘结果为0，它们两两相互垂直。加上it轴以后，假定it，x,y,z两两点乘有一样的结果，就像四维向量的点乘，四个方向各占一个方向，因为实际中看不到，所以成为伪黎曼空间。it.x=0,it.it=-1等等。任何物理事件都是一个4维流形的点，嵌入到4维空间中。