ζ 函数(ζ-function)是用来刻画系统周期点性态的函数。设M是
微分流形，f：M→M是
可微映射，对m=1,2,...，记Nm=Nm(f)为fm的不动点数目。假设Nm<+∞，m=1,2, ...，如下形式的幂级数：
称为f的ζ函数。ζ函数最早由阿廷(Artin，E.)和马祖尔(Mazur，B.)于1965年给出。它是一个共扼不变量，因而可记ζf(t)为ζ(t)。在什么条件下ζ(t)是有理函数是动力系统研究的重要问题。现已证明：公理A微分同胚以及扩张映射的ζ函数是有理的。对M上可微流φ的ζ函数是由斯梅尔(Smale，S.)给出的，其形式为无穷积：。