ζ 函数(ζ-function)是用来刻画系统周期点性态的函数，是动力微分系统的重要研究对象。

ζ 函数(ζ-function)是用来刻画系统周期点性态的函数。设M是微分流形，f：M→M是可微映射，对m=1,2,...，记Nm=Nm(f)为fm的不动点数目。假设Nm<+∞，m=1,2, ...，如下形式的幂级数：

称为f的ζ函数。ζ函数最早由阿廷(Artin，E.)和马祖尔(Mazur，B.)于1965年给出。它是一个共扼不变量，因而可记ζf(t)为ζ(t)。在什么条件下ζ(t)是有理函数是动力系统研究的重要问题。现已证明：公理A微分同胚以及扩张映射的ζ函数是有理的。对M上可微流φ的ζ函数是由斯梅尔(Smale，S.)给出的，其形式为无穷积：。

这里Γ是φ的除奇点外的周期轨道的集合，ζ(γ)是周期轨道的周期。

设X是拓扑空间，f：X→X是连续映射，fn的不动点数Nn(f)<+∞，任意n∈N，则称

为f的ζ函数。

以 表示形状如 的序列的集合，这里ai取值于{1,2,…,h}。 中的距离定义为。

这里 ， ，

又以σ表示转移映射：

设A=(A(j,k))是h*h方阵，其中各A(j,k)是0或1。我们把 （或 ）称为是A允许序列，如果

所有形状如 的A允许序列组成的 的子集记为 ， 称为有限型子转移。

设M是微分流形，U M是具有紧致闭包的开集，A U是紧致集，f∈C1(U,M)，f( ) 。f称为是在 上扩张的，如果存在M的Riemann度量<·,·>和实数r>1使得

。

这里|·|表示由<·,·>引出的范数。特别地，如果M是紧致的，f∈C1(M,M)在M上扩张，则称f是扩张映射。

f∈C0(U,M)称为在 中正向可扩，如果 ，并且存在（被称为可扩常数的）e>0使得对任意x,y∈ ，x≠v，存在非负整数k满足d(fk(x),fk(y))>e。

如果f∈C1(U,M)在紧致不变集 U上扩张，则存在 的紧邻域V U使得f在V中是正向可扩的。

集合S的基数记为#S。

紧致光滑流形M上的扩张自映射f具有有理的ζ函数。

设M是光滑流形，f∈C1(M,M)， 是紧致集，f在上是扩张的，则ζf(t)是有理函数。

设f∈C1(M,M)在紧致集=上是扩张的，<·,·>和r如定义3所述。则存在紧邻域V和实数10，使得：对任意x∈V映射f|B(x,ρ)是到象集的微分同胚，对任意p,q∈B(x,ρ)，f(p),f(q)∈B(f(x),r’ρ)有d(f(p),f(q))≥r’d(p,q)。

并且对任意x∈V，0<ρ'<ρ有f(B(x,p'))B(f(x),r'ρ')。

设W∈int V是=的紧邻域，则对任意β>0，存在0<α<β，使得W中的任意α伪轨有V中的轨道β追踪它。

设e是f在V中的可扩常数。选取β满足，选取α满足0<α<β min{r-1,1}，再选取δ,0<δ<α/2，使得对于任意x,y∈V，d(x,y)<δ，有d(f(x),f(y))<α/2。记

选取p1,...,ps∈W使得

以Pi表示满足以下条件的点y∈Δ的集合：从y出发的轨道可以β追踪形状如{pi,pα1,pα2,...}的α伪轨。又以pi'表示Pi在子空间Δ中的内点集。

=。

公理A是在微分动力系统结构稳定性和Ω稳定性的研究中，由斯梅尔提出的一个基本条件。满足公理A条件要求的系统被称为公理A系统。设M是紧致微分流形，f：M→M是微分同胚。涉及f的以下条件称为公理A系统：

1.非游荡集Ω(f)具有双曲结构；

2.周期点在非游荡集中稠密；

对M上的C向量场X来说，设φ是X导出的流，若Ω(φ)=F∪ ，同时满足：

1.F是φ的有限个双曲奇点的集合；

2. 是φ的双曲不变集，而且φ的双曲周期轨在 中稠；

3.F∩ =φ；

则称φ为公理A流。

莫尔斯-斯梅尔系统以及安诺索夫系统都是公理A系统。斯梅尔正是在概括了这两个系统及其他结构稳定系统后提出公理A条件的。公理A系统的遍历性质及其非游荡集的结构等动力学性质的研究已取得丰富成果。