代数学研究的基本对象之一。设 P 是一个数域，x 是一个文字。形式表达式称为系数在数域 P 上 x 的一元多项式，或称数域 P 上的一元多项式。

设 a0,a1,…,an都是数域 F 中的数， n 是非负整数，那么表达式anxn +an-1xn-1+…+a2x2 +a1x+ a0(an≠0) 叫做数域 F上一个文字 x 的多项式或一元多项式。

在多项式中，a0叫做零次多项式或常数项，a1x 叫做一次项，一般，aix 叫做i次项，ai 叫做 i 次项的系数。一元多项式用符号 f(x)，g(x)，…来表示。

anx叫做多项式：anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+ a0(an≠0)的最高次项或首项。an称为首项系数，非负整数 n 叫做多项式的次数。

最高次项是零次项的多项式，即 a(a≠0) 的次数为零，叫零次多项式。

系数全为零的多项式没有次数，这个多项式叫零多项式，零多项式总可记为 0 。

例如： a+b 是关于 a 的一次多项式；3x+2x-5 是关于 x 的二次多项式；x+y 是关于 x 的三次多项式。

若是数域P上两个一元多项式 f(x) 和 g(x) 有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么 f(x) 和 g(x) 叫做相等，记作 f(x)=g(x)。

如：1+0x+5x+0x=1+0x+5x=1+5x，而3+1x+2x=3+x+2x≠3+x+x

按上述定义可知：两个多项式

f(x)= a0+a1x+a2x+…+an-1x+anx

g(x)=b0+b1x+b2x+…+bn-1x+bnx

a0=b0，a1=b1，a2=b2，…，an-1=bn-1，an=bn

（1） 对于两个次数都不超过n次的多项式 f(x) 及 g(x) ，如果对于变数 x 的 n+1 个不同的数都有相同的值，那么这两个多项式恒等。

（2） 如果多项式 f(x) 与 g(x) 对于变数的 x 的无限多个数都有相同的值，那么它们是恒等的。

[polynomial]

多项式理论是代数学的一个古老的研究领域，早在公元前两千年，巴比伦人就已经知道如何求二次方程的根式解。直到19 世纪初，代数方程的根式解仍然是代数学研究的主要内容。1824 年，挪威青年数学家阿贝尔(N.H.Abel)作出了创造性的贡献，证明了一般五次方程的根式求解是不可能的。其后，法国年青的天才数学家伽明瓦(E.Galois) 给出了判别方程根式解的充要条件，彻底解决了这一难题。更为重要的是，伽罗瓦的新思想导致了群论的创立，这对整个数学的发展产生了持续深远的影响。多项式理论已成为一个完善、成熟的研究领域，其理论渗透到现代数学的各个分支中。

我们可以在任意环上定义一元或多元多项式，但是其理论过于一般化，缺乏深度。相对来说，域上的多项式理论有着更加丰富的内涵。例如，有理数域上的多项式理论是代数数论研究的对象。有限域上的多项式理论在编码学、密码学和组合设计等领域有重要的应用。因此，下面只介绍域上多项式的基本理论。

设 F 是一个域，如有理数域，实数域，复数域,含有 q个元素的有限域等。系数在 F 中关于一个文字x 的一元多项式指的是形式表达式其中 n 是一个非负整数，是 F 中的元素。文字 x 通常称作变元（variable）或未定元（indeterminate）。

在表达式中，称为 i 次项，称为 i 次项的系数。两个多项式和称为相等的如果除去系数为零的项以外，这两个多项式称为零多项式，记作 0。用记 F 上所有关于变元 x 的一元多项式构成的集合。若，则称 n 为的次数（degree），记作。此时，称为的首项或最高次项，为首项系数或最高次项系数。规定零多项式的次数为。