一致同胚(uniform homeomorphism)是一致连续意义下的同胚映射。设X，Y都是巴拿赫空间，若存在X到Y上的一一对应的映射f，使f和f都是一致连续的，则巴拿赫空间X与Y称为一致同胚的。

一致同胚(uniform homeomorphism)是一致连续意义下的同胚映射。设X，Y都是巴拿赫空间，若存在X到Y上的一一对应的映射f，使f和f都是一致连续的，则巴拿赫空间X与Y称为一致同胚的。若存在X到Y上的一对一的映射f，适合条件：存在常数C≥1，使对任意x，y∈X，都有：

则X与Y称为李普希茨同胚的。如果两个巴拿赫空间是李普希茨同胚的，那么它们必是一致同胚的。

关于巴拿赫空间理论有下述基本问题：两个一致同胚(或李普希茨同胚)的巴拿赫空间是否一定是线性同胚的?1978年，阿哈罗尼(Aharoni，I.)和林登斯特劳斯(Lindenstrauss，J.)否定地回答了这个问题。

同胚是拓扑空间之间的一种变换。若f是拓扑空间(X，T)到(Y，U)的单满映射，并且f与f都是连续的，则称f为同胚映射或拓扑变换。存在同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的或拓扑等价的。同胚关系是等价关系。抽象空间的同胚是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)于1910年开始研究的。在狭窄的意义下同胚的概念早已被庞加莱(Poincaré，(J.-)H.)引入。

设E与F为两个拓扑空间。称从E到F上的双射为从E到F上的同胚，如果这一映射能建立一个从E之全体开集的集合到F之全体开集的集合上的双射。

为使从E到F上的双射是同胚，其充分必要条件是： 这个双射是双连续的。

从一紧空间到另一紧空间上的任一连续双射是同胚。

映射亦称函数。数学的基本概念之一。也是一种特殊的关系。设G是从X到Y的关系，G的定义域D(G)为X，且对任何x∈X都有惟一的y∈Y满足G(x，y)，则称G为从X到Y的映射。即关系G为映射时，应满足下列两个条件：

1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).

2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).这个被x∈X所惟一确定的y∈Y，通常表示为y=f(x)(x∈X).f(x)满足：

1) f(x)∈Y.

2) G(x，f(x))成立(x∈X).

3)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).

关系G常使用另一些记号：f：X→Y或XY.f与G的关系是y=f(x)(x∈X)，当且仅当G(x，y)成立。可取变域X中的不同元素为值的变元称为自变元或自变量。同样可取变域Y中的不同元素为值的变元称为因变元或因变量。始集X称为映射f的定义域.记为D(f)或dom(f)。终集Y称为映射的陪域，记为C(f)或codom(f)。Y中与X中的元素有关系G的元素的组合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}称为映射的值域，记为R(f)或ran(f).当y=f(x)时，y称为x的象，而x称为y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示。对于AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}称为A的象.记为f(A).对于BY，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}称为B的原象。记为f(B)。显然：f(A)=f(x)，f(B)=f(y)。

一致连续亦称均匀连续。反映函数均匀变化的性质。设f是从集合ER到R的实函数，若对任意ε>0，存在δ>0，使：

sup{|f(x1)-f(x2)|x1，x2∈E，|x1-x2|<δ}<ε，

或对x1，x2∈E，|x1-x2|<δ，有|f(x1)-f(x2)|<ε，则f称为在E上一致连续。函数f∶E(R)→R一致连续的定义可完全类似给出，只要把|·|理解为R或R中的范数|·|。相对于一致连续，把f在E上连续称为逐点连续.一致连续函数必逐点连续，反之不一定。但在R的有界闭集上连续的函数必一致连续。若f定义在开区间(a，b)上，则f一致连续当且仅当f连续，且f(a+)与f(b-)存在且有限。例如，对函数g(x)=1/x，有g(0+)=+∞，故g不在(0，+∞)上一致连续。一致连续函数把柯西列映为柯西列，即若f一致连续，{xn}是柯西列，则{f(xn)}也是柯西列；反之，定义在有界集上，把柯西列映为柯西列的函数必一致连续。一致连续函数的线性组合一致连续.两个一致连续函数的复合函数一致连续。一致连续性是由海涅(Heine，H.E.)于1870年引入的。

完备的赋范线性空间被称为巴拿赫空间，是泛函分析研究的基本内容之一。

20世纪以来，当人们研究了许多具体的无限维空间及其上面相应的收敛性以后，自然而然地转向抽象形态的线性空间以及按范数收敛的概念。德国数学家希尔伯特、法国数学家弗雷歇和匈牙利数学家里斯在1904—1918年间所引入的函数空间是建立巴拿赫空间理论的基础。在这些空间里，强收敛、弱收敛、紧性、线性泛函、线性算子等基本概念已经得到初步研究。

1922—1923年，波兰数学家巴拿赫、奥地利数学家哈恩和美国数学家N.维纳等分别独立地引入了赋范线性空间的概念，并以巴拿赫的姓氏来命名。1922年，巴拿赫开始根据他所引入的公理来系统研究已有的函数空间，得到深刻的结果;同一年，哈恩从当时分析数学的许多成果中提炼出共鸣定理;1922—1923年巴拿赫得到压缩映射的不动点定理、开映射定理。1927年和1929年哈恩和巴拿赫先后证明了完备赋范空间上泛函延拓定理，引入了赋范线性空间的对偶空间(当时称之为极空间)，这个定理的推广形式后来在局部凸拓扑线性空间理论中起了重要作用。1931年，巴拿赫写成《线性算子理论》。至此，完备赋范线性空间理论的独立体系已基本形成，并且在不到十年的时间内便发展成本身相当完整而又有多方面应用的理论。