一阶差分_离散函数中连续相邻两项之差

一阶差分

离散函数中连续相邻两项之差

一阶差分就是离散函数中连续相邻两项之差。当自变量从x变到x+1时，函数y=y(x)的改变量∆yx=y(x+1)-y(x)，(x=0，1，2，......)称为函数 y(x)在点x的一阶差分，记为∆yx=yx+1-yx，(x=0，1，2，......)。

基本概念

定义

设函数，式中只对在非负整数值上有定义，在自变量x依次取遍非负整数，即时，相应的函数值为

简记为

定义1 当自变量从变到时，函数的改变量

称为函数在点的一阶差分，通常记作

例题解析

例1 设，求。

解: 。

例2 设 (其中且 )，求。

解: 。

可见，指数函数的差分等于指数函数乘上一个常数。

例3 设，求。

解: 。

高阶差分

下面给出高阶差分的定义。

定义2 当自变量从变到时，一阶差分的差分

称为函数的二阶差分，记作，即

同样，二阶差分的差分称为三阶差分，记为，即

依此类推，可得函数的n阶差分为

差分的性质及定理

（1）(C为常数)；

（2）；

（3）；

（4）若为最高次项系数为的n次多项式，则；

（5）若为n次多项式，则；

（6）若，则是x的一个次数小于等于r的代数多项式。

差分方程

定义3 凡含有自变量x，未知函数及未知函数的差分的函数方程称为差分方程，如方程

是差分方程．方程中差分的最高阶数(即△上方最大的数字)称为差分方程的阶，几阶就称为几阶差分方程，n阶称为n阶差分方程。

由于n阶差分总可表示成n+1个点上函数值的线性组合．因而差分方程又可定义如下。

定义4 凡是含有自变量x以及两个或两个以上的未知函数值的函数方程

称为差分方程。方程中未知函数下标的最大值与最小值的差称为差分方程的阶。

定义5 (1) 如果将已知函数代人差分方程，能使其对成为恒等式，则称函数为该差分方程的一个解；

(2) 对于n阶差分方程，含有n个独立的任意常数的解称为该差分方程的通解；(3)差分方程的不包含任意常数的解称为该方程的特解。

在通解中给定一组任意常数所确定的解，就是该n阶差分方程的特解，常由初始条件求出一组任意常数的值，确定特解。

参考资料

最新修订时间：2022-08-25 14:21

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概述

基本概念

高阶差分

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