三元齐次线性方程组(system of ternary homogeneous linear equations)亦称三元一次齐次方程组,是一种特殊的
线性方程组,即方程组中的各个方程的常数项都是零的三元线性方程组。在初等数学中,三元齐次线性方程组常指aix+biy+ciz=0(i=1,2,3)组成的方程组。三元齐次线性方程组总有零解(x,y,z)=(0,0,0),当系数行列式不等于零时,它只有零解,当系数行列式等于零时,有无穷多个非零解。
显然,定有解x=y=z=0,这是方程组的零解。当方程组的
系数行列式D不为零时,它只有唯一的零解,当系数行列式D为零时,方程组除零解外,还有无数个非零解。
x1=0,x2=0,…,xn=0显然是它的一个解,称为零解,其他的解称为非零解,齐次线性方程组的两个解(解向量)的和,以及任意数与任意解(解向量)的乘积,仍为该齐次线性方程组的解(解向量)。齐次线性方程组任意一组解(解向量)的线性组合仍为该齐次线性方程组的解(解向量).因此,齐次线性方程组的全体解向量构成一个向量空间,称为齐次线性方程组的解空间.设AX=0是数域P上m个方程的n元齐次线性方程组,则方程组AX=0有非零解的充分必要条件是矩阵A的秩r(A)系数行列式等于零。