在
等腰三角形中，
底边上的中线、底边上的
垂线、顶角的
角平分线相互重合，简称三线合一。
内容
在等腰三角形中，底边上的中线、底边上的垂线、顶角的角平分线相互重合，简称三线合一。由于等边三角形是特殊的等腰三角形，所以对于等边三角形，三线合一定理同样成立。
证明
（1）在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC。证明：线段AD是ΔABC的中线和角平分线。
证明：
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
∴ΔADB和ΔADC是直角三角形
在直角三角形ADB和直角三角形ADC中
AB=AC，AD=AD
∴RtΔADB≌RtΔADC（HL）
由全等三角形的性质知∠BAD=∠CAD，BD=CD
∴线段AD是ΔABC的中线和角平分线
（2）在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD=CD。证明：线段AD是ΔABC的垂线和角平分线。
证明：
在ΔADC和ΔBDC中
AB=AC，BD=CD，AD=AD
∴ΔADC≌ΔBDC（SSS）
由全等三角形的性质知∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC
∴线段AD是ΔABC的角平分线
∵∠ADB=∠ADC且∠ADC+∠ADC=180°
∴∠ADB=∠ADC=90°
∴AD⊥BC
∴线段AD是ΔABC的垂线
（3）在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC。证明：线段AD是ΔABC的中线和垂线。
证明：
在ΔADC和ΔBDC中
AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD
∴ΔADC≌ΔBDC（SAS）
由全等三角形的性质知BD=CD，∠ADB=∠ADC
∴线段AD是ΔABC的中线
∵∠ADB=∠ADC且∠ADC+∠ADC=180°
∴∠ADB=∠ADC=90°
∴AD⊥BC
∴线段AD是ΔABC的垂线
相关延伸
（1）在ΔABC中，线段AD是BC边上的中线，且线段AD平分∠BAC。证明：ΔABC是等腰三角形。
证明：
1）若∠ABC＜90°
过点D作线段DE⊥AC交线段AC于点E，过点D作线段DF⊥AB交线段AB于点F
在ΔADE和ΔADF中
∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD，AD=AD
∴ΔADE≌ΔADF（AAS）
由全等三角形的性质知DE=DF，AE=AF
在直角三角形DEC和直角三角形DFB中
DE=DF，CD=BD
∴RtΔDEC≌RtΔDFB（HL）
由全等三角形的性质知EC=FB
∵AC=AE+EC，AB=AF+FB
∴AB=AC
∴ΔABC是等腰三角形
2）若∠ABC=90°
过点D作线段DE⊥AC交线段AC于点E
∠EAD=∠BAD，∠AED=∠ABD，AD=AD
∴ΔADE≌ΔADB（AAS）
由全等三角形的性质知DE=DB
∵线段AD是BC边上的中线
∴DC=DB=DE
在直角三角形DEC中DE=DC且∠DEC=90°
此三角形不存在，矛盾，故此情况不存在
3）若∠ABC＞90°
过点D作线段DE⊥AC交线段AC于点E，过点D作线段DF⊥AB交线段AB的延长线于点F
∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD，AD=AD
∴ΔADE≌ΔADF（AAS）
由全等三角形的性质知DE=DF，AE=AF
在直角三角形DEC和直角三角形DFB中
DE=DF，CD=BD
∴RtΔDEC≌RtΔDFB（HL）
∴∠DBF=∠DCE
由外角定理有∠DBF=∠DCE+∠CAB
则∠CAB=0，矛盾，故此情况不存在
（2）在ΔABC中，线段AD是BC边上的中线，且AD⊥BC。证明：ΔABC是等腰三角形。
证明：
∵BD=CD且AD⊥BC
∴AD是线段BC的垂直平分线
由垂直平分线的性质知，AB=AC
∴ΔABC是等腰三角形
（3）在ΔABC中，AD⊥BC且线段AD平分∠BAC。证明：ΔABC是等腰三角形。
证明：
在ΔADC和ΔBDC中
∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠ADB=∠ADC=90°
∴ΔADC≌ΔBDC（ASA）
由全等三角形的性质知AB=AC
∴ΔABC是等腰三角形
4.在ΔABC中，AD⊥BC，线段AD是BC边上的中线，且线段AD平分∠BAC。证明：ΔABC是等腰三角形。
证明：
由1.2.3.易知该命题成立。
应用
在涉及到等腰三角形的命题当中，恰当地使用三线合一定理可以简化证明过程。