三重积
数学术语
三重积,又称混合积,是三个向量相乘的结果。
向量空间
中,有两种方法将三个向量相乘,得到三重积,分别称作标量三重积和
向量三重积
。
标量三重积
定义
标量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的
叉积
相乘得到
点积
,其结果是个
赝标量
。
设 为三个向量,则标量三重积的定义为
。
特性
设 ,则有
。
证明
利用
行列式
的特性,可知顺序置换向量的位置不影响标量三重积的值:
任意对换两个向量的位置,标量三重积与原来相差一个
负号
:
若任意两个向量相等,则
标量
三重积等于零:
其他记号
有时候,标量三重积会以括号表示:
几何意义
几何上,由三个向量定义的
平行六面体
,其
体积
等于三个标量标量三重积的
绝对值
:
向量三重积
向量三重积
是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到的叉积,其结果是个向量。
定义
对于三个向量 ,向量三重积的定义为
。
值得注意的是,一般来说,
。
特性
以下恒等式,称作三重积展开或拉格朗日公式,对于任意向量 均成立:
英文中有对于第一式有助记口诀BAC-CAB (BACK-CAB,后面的出租车),但是不容易记住第一式跟第二式的变化,很容易搞混。 观察两个公式,可得到以下三点:
两个分项都带有三个向量 ;
三重积一定是先做
叉积
的两向量之线性组合;
中间的向量所带的系数一定为正(此处为向量b)。
证明
我们可以由叉积的定义计算 的x分量:
类推至y和z分量,可得:
所以
。
利用上述恒等式,可得以下结果:
(
雅可比恒等式
)
在
向量分析
中,有以下与
梯度
相关的一条恒等式:
这是一个拉普拉斯-德拉姆算子的特殊情形。
参考资料
最新修订时间:2022-08-25 14:22
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标量三重积
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