严格拟凸函数(strictly quasi-convex function)是凸集上的一类函数。设S是线性空间中的非空凸集，f是S上的实值函数。若对任何实数α∈(0，1)和任意的x1，x2∈S，且f(x1)≠f(x2)，恒有f(αx1+(1-α)x2)

定义

下面一系列定义中的函数都是定义在n维欧氏空间中的某一凸集合上的n个变量的实值函数。

定义1 若对于任意的，以及数，有

则称是上的严格凸函数。

定义2 若对于任意的，以及数，有

则称是上的凸函数。

定义3若对于任意的以及数，有

则称是上的严格拟凸函数。

定义4若对于任意的，及数，有

则称是上的拟凸函数。

定义5 若对于任意的，以及数，有

则称是上的下单峰函数(或称直线单峰函数)。

当时，下单峰函数的定义与优选法中单变量的单峰函数的定义是一致的。因此，定义5是单变量单峰函数的形式上的扩充。

定义6 设是一个非空凸集，并设。如果对每对，都有

则称为强拟凸。若为强拟凸，则便称为一个强拟凹函数。

相关性质

不难看出定义中所述的函数类之间有如下的关系：

严格凸函数凸函数严格拟凸函数；

严格凸函数下单峰函数；

下单峰函数严格拟凸函数。

(“”的意思是：例如“严格凸函数凸函数”是表示若是上的严格凸函数，则也是上的凸函数)。当在上是下半连续函数时，可以证明下面的关系成立：

严格拟凸函数拟凸函数；

不难证明，当是上的严格拟凸函数时，局部极小也是整体极小( 最优解)；当是上的下单峰函数时，其最优解( 若存在) 唯一。

不难证明，是上面定义1至定义5中的某一函数类中n个变量的函数的充分必要条件是：对任意的，单变量函数

是上的同类型的函数类中的单变量的函数。

下面这条定理指出：在整个凸集上，严格拟凸函数的局部极小值也是一个总体极小值。但是从图1(a)中可以看到，拟凸函数就没有这种特性。

(a)严格拟凸；(b)严格拟凸；(c)严格拟凹

定理1 设为严格拟凸。考虑下述规划问题(P)：

这里一个非空凸集。如果是一个局部最优解，则也是一个总体最优解。

引理2设是一个非空凸集，并设为严格拟凸和下半连续，则是一个拟凸函数。

下面说法均成立：

①每个严格凸函数都是强拟凸函数。

②每个强拟凸函数都是严格拟凸函数。

⑨每个强拟凸函数都是拟凸函数，即使没有半连续的假定也是如此。

定理3 设为强拟凸函数。考虑下面的规划问题(P)：

这里是一个非空凸集。若是一个局部最优解，则便是唯一的总体最优解。

参考资料

最新修订时间：2023-05-27 20:49