高阶偏微分算子的象征及主象征是线性偏微分算子对应的多项式，方程中出现未知函数及偏导数不是线性的，则称为非线性偏微分方程。线性偏微分方程是一类重要的偏微分方程，关于所有未知函数及其导数都是线性的偏微分方程称为线性偏微分方程。例如，拉普拉斯方程、热传导方程及波动方程都是线性偏微分方程。

设P为X上E到F的m阶微分算子，光滑复向量丛(⊙mTX)⮿Hom(E,F)的截面σ(P)称为P的主象征。

高阶偏微分算子的象征是线性偏微分算子对应的多项式，称

是区域Ω上的m阶线性偏微分算子，称 的多项式

为偏微分算子 的象征，而称ξ的多项式

为偏微分算子 的主象征，这里

微分算子(differential operator)是一类常见而又重要的算子，它是微分方程中研究的核心对象。设A是由某函数空间E1到函数空间E2的映射，f=Au(u∈E1，f∈E2)，如果像f在每个点x处的值f(x)由原像u和它的某些导函数在x处的值所决定，则称A为微分算子。当A还是线性时，称A是线性微分算子。例如

就是线性微分算子，其中α=(α1，α2，…，αn)为非负的整数组，

是定义在n维欧几里得空间某个开集Ω上的函数，当n=1时，P(x，D)是常微分算子；当n≥2时，P(x，D)是偏微分算子。

未知函数具有多个自变量，含有这种未知函数的一个或多个偏导数的微分方程称为偏微分方程。如自变量只有一个就成为常微分方程。如方程不止一个，就称为偏微分方程组。 就是一个典型的偏微分方程。 就是一个典型的常微分方程。

如果偏微分方程中，未知函数及它的所有偏导数都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于自变量(或者是常数)，那么这样的偏微分方程就称为线性偏微分方程，特别的，如果方程中的系数都是常数，则称为常系数偏微分方程。显然，如果方程中的系数是自变量的函数，则称为变系数偏微分方程。方程中出现未知函数及偏导数不是线性的，则称为非线性偏微分方程。线性偏微分方程是一类重要的偏微分方程，关于所有未知函数及其导数都是线性的偏微分方程称为线性偏微分方程。例如，拉普拉斯方程、热传导方程及波动方程都是线性偏微分方程。

线性偏微分方程的性质

引入线性偏微分算子

则线性偏微分方程可简写为

线性偏微分方程有以下性质：

1)如 ，则 。如 ．则 (c是常数)。

2)如 是齐次方程 的通解，v是非齐次方程 的特解，则 是非齐次方程 的通解。

3)如 是 的特解，则 ( 是常数)是 的解。

4)如 是 的解，则 是的解。其中 是参变量， 是任意函数。如 ，则 (c是常数)。