二次域,就是有理数域Q的二次扩域。每个二次域都可表示成其中d 不等于1是无平方因子的有理整数,按照d>0和d<0,分别称K为实二次域和虚二次域。二次域是除了有理数域之外最简单的一类代数数域。它有较简单的数学结构和特性。
1801年,C.F.高斯发表了他在20岁时所写的数论著作《算术研究》,展现了他的一个杰出的思想,即把有理数域和有理整数环上的许多初等数论问题,放到更大的域和环──二次域和它的(代数)整数环上来研究。他在这些方面的工作,是研究二次域的开端,也是代数数论的一个源头。
关于第一个猜想,1934年,H.海布雷恩给出了初步证明。1935年C.L.西格尔进一步证明了该猜想。A.贝克于1966年和H.M.斯塔尔克于1967年各自
独立地证明了类数为1的虚二次域只有9个:d=1,2,3,7,11,19,43,67,163。至于第二个猜想,则至今仍未解决。