二次扩张
扩张次数为2的域扩张
二次扩张(quadratic extension)是一类重要的有限扩张。二次扩张是指扩张次数为2的域扩张。域F上的二次不可约多项式的分裂域是F的二次扩张。设K/F是域扩张,K′是K的子域,F上的每个二次多项式在K′中可分解为一次因子的乘积,只要该多项式在K中有根,这样的K′中的最小者,称为F在K中的二次闭包。
概念
二次扩张(quadratic extension)是一类重要的有限扩张。二次扩张是指扩张次数为2的域扩张。域F上的二次不可约多项式的分裂域是F的二次扩张。设K/F是域扩张,K′是K的子域,F上的每个二次多项式在K′中可分解为一次因子的乘积,只要该多项式在K中有根,这样的K′中的最小者,称为F在K中的二次闭包。当F与它在代数闭包中的二次闭包一致时,称F为二次闭域。
设A为交换环,e为A的单位元素。称A的扩张B是二次扩张,如果存在B的元素v,使得(e,v)是A-模B的基。
设A为交换环,而d为A的元素。以关系:
定义乘法的加法群A2是A的二次扩张,在这一扩张中,(d,0)是(0,1)的平方;通常将这一扩张记为。例如,是复数体,是高斯整环。
扩张
如果E是一个域,而F是E的子集,它在E中加法和乘法的运算下也成 一个域,我们把E叫做F的一个扩张。E作为F的一个扩张时,可用符号F⊂E表示。如果F⊂E, 且不考虑E的元素间所定义的乘法运算,那么可把E当作是F上的一个向量空间。如果F上向量空间E的维数(记作E/F)是有限的,那么把E叫做有限扩张。
域的扩张
域论的基本概念之一。若域K包含域F作为它的子域,则称K是F的一个扩张(或扩域),F称为基域,常记为K/F。此时,K可以看成F上的向量空间。研究扩域K(相对于基域F)的代数性质,是域论研究的一个基本内容。
若域E是F的扩域,K是E的扩域,则称E是域扩张K/F的中间域。若K/F是域扩张,S是K的子集,且F(S)是K的含F与S的最小子域,称F(S)为F添加S的扩域。当S={α1,α2,…,αn}是有限集合时,F(α1,α2,…,αn)称为添加α1,α2,…,αn于F的有限生成扩域(或者F上的有限生成扩张)。它由一切形如:f(α1,α2,…,αn)/g(α1,α2,…,αn)的元组成,其中α1,α2,…,αn∈S,f,g是F上的n元多项式且g(α1,α2,…,αn)≠0。
由于这个原因,当F(α1,α2,…,αn)关于F的超越次数≥1时,F(α1,α2,…,αn)也称为F上的代数函数域。当S={α}时,称F(α)为F的单扩张域,也称本原扩域。F的有限代数扩域K是单扩域的充分必要条件是,扩域K与基域间存在有限个中间域。这是施泰尼茨(Steinitz,E.)证明的。
闭包
图论的一个基本概念。指由一个图所派生出的另一个图.具体地说,一个图G的闭包H是指符合下列条件包含边最少的图:G是H的支撑子图;对于H上任何两不相邻节点v和w,都有ρH(v)+ρH(w)哈密顿图。称节点次之和特别是两个节点次之和所满足的条件为奥尔型条件。所谓一个图G的k闭包,是指符合下列条件且包含边最少的图H:G是H的支撑子图;对于H上任何两不相邻节点v和u,都有ρH(v)+ρH(u)
代数闭包
一个域的最大代数扩域。若域F的代数扩域Ω为代数闭域,则称Ω为域F的一个代数闭包。一个域F的代数闭包总是存在的,并且在F同构意义下惟一。这个基本定理来自施泰尼茨(Steinitz,E.)。设K是域F的扩域,在K中F上代数元的全体组成的子域A称为F在K内的代数闭包,它是F在K内的最大代数扩域。特别地,若F=A,则称F在K内是代数闭的。
实线性空间中的集合的代数意义下的闭包。设A为实线性空间X中的集合。A的代数闭包是指这样的点b∈X的全体:存在h∈X,对于任何ε>0,存在λ∈[0,ε],使得b+λh∈A.A的代数闭包常记为acl(A)。如果A=acl(A),那么A称为代数闭集。它也是X在以代数开集为开集的拓扑意义下的闭集,即代数闭集的余集必定是代数开集;反之亦然。代数闭包的概念在叙述凸集分离定理时也起重要作用。
有的文献定义代数闭包时,要求对于任何λ∈(0,ε)都有b+λh∈A.这时代数闭集就不再是代数开集的余集。但当A是多于一点的凸集时,由这两种定义得到的代数闭包是相同的。
参考资料
最新修订时间:2022-08-25 15:03
目录
概述
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