二次无理数(quadratic irrational number)是一类特殊的无理数，指满足整系数二次方程的无理数，这个方程的另一个解称为这个无理数的共轭数，称这两个二次无理数互为共轭数。二次无理数有下面性质：1.每个纯循环连分数对应着一个大于1的二次无理数，它的共轭数是大于-1的负数；反之亦然。2.二次无理数的连分数都是循环的；反之亦然。1770年，柏林出版了欧拉(L.Euler)的数论专著《代数指南》，书中附有拉格朗日(J.-L.Lagrange)的《数论随笔》，并称上面的性质2为关于二次无理数的拉格朗日定理。

定义 一个复数α称为二次无理数，如果它是某个整系数二次方程

ax2+bx+c=0

的根。特别地，当二次无理数α是实数时，我们就称其为实二次无理数。任何无限循环连分数表示二次无理数，任何二次无理数都可用无限循环连分数来表示。

定理1α是二次无理数的充分必要条件是存在非平方的整数d，及有理数r，s，s≠0，使

特别地，α是实二次无理数的充分必要条件是d>0。

定理2 设整数d不是平方数，那么形如(r，s是有理数)的数的和、差、积、商仍然是这种形式。

定义 对于无限简单连分数，如果存在两个整数s≥0，t>0使得

则我们就称该连分数为循环连分数，并记为

例如a=[5，3，4，1，2，1，2，…]，则这个循环连分数的s=3，t=2。

定理3 一个循环连分数必是实二次无理数，即是某个整系数二次不可约方程的根。反之亦然。

每个纯循环连分数收敛于一个二次无理数α，满足 ，下面是其逆命题。

设α是一个二次无理数，满足，存在正整数p，q，d，其中d是非平方数，使得p。

2.设d是非平方正整数，p和q是整数，，，则：

(1)若，其中，其中，其中和是整数；

(2)若，其中，则，其中p2和q2是整数；

(3)若，其中，则，其中与是整数；

(4)每个且；

(5)只有有限多个不同的；

(6)若(1≤n≤m)是第一次重复出现的两个数，则，进而利用归纳法得到对一切正整数i成立；

(7)若，则对一切n有；

(8)若n>1，则，所以；

(9)因为，所以，且，于是，因此n=1。