二项式系数
系数其中n为自然数
二项式系数(binomial coefficient),或组合数,在数学里表达为:(1 + x)n展开后x的系数(其中n为自然数)。从定义可看出二项式系数的值为整数。
定义
一般二项式(x + y)n的幂可用二项式系数记为 。广义二项式定理把这结果推广至负数或非整数次幂,此时右式则不再是多项式,而是无穷级数
二项式系数对组合数学很重要,因它的意义是从n件物件中,不分先后地选取k(k为正整数)件的方法总数,因此也叫做组合数。从定义出发,把n个(1+x)项的乘积展开,其中任意k项的x和n−k项的1相乘得出一个x,故此x的系数是从n个选取k个的方法总数。把各项的x标记可以更清楚看出:当n=4, k=2时,
, 所以x的系数6等于从4项物件选取2项的方法总数。
二项式系数是杨辉三角的第n+1行从左起第k+1个数,它最先由杨辉发现。
二项式系数符合等式可以由其公式证出,也可以从其在组合数学的意义推导出来。如第一式左项表示从n+1件选取k件的方法数,这些方法可分为没有选取第n+1件,即是从其余n件选取k件;和有选取第n+1件,即是从其余n件选取k−1件。而第二式则是每个从n件选取k件的方法,也可看为选取其余n−k件的方法。
发现历程
二项式系数表为在我国被称为贾宪三角或杨辉三角,一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉的《详解九章算法》(1261)之中。在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》(1427)中也给出了一个二项式定理系数表,他所用的计算方法与贾宪的完全相同。
在欧洲,德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一般却称之为帕斯卡三角形,因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何,二项式定理的发现,在我国比在欧洲至少要早300年。   1665年,牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形,给出了展开式。   二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和,以及差分法中有广泛的应用。
性质
对称性
与首末两段“等距离”的两个二项式系数相等。即。
单峰性
是单峰序列。
(1)当n为偶数时,中间一项的二项式系数取得最大值。
(2)当n为奇数时,中间两项的二项式系数相等且最大。
二项式系数的和
二项式定理
二项式定理(binomial theorem),又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出。
此定理指出: ,通项公式为   其中, 叫做二项式系数。等号右边的多项式叫做二项展开式。
其i项系数可表示为 ,即n取i的组合数目。 因此系数亦可表示为帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)
二项式定理(Binomial Theorem)是指(a+b)n在n为正整数时的展开式。
排列与组合
1、
2、
3、
证明:由
当a=b=1时,代入二项式定理可证明1
当a=-1,b=1时代入二项式定理可证明2
4.组合数的性质:
参考资料
最新修订时间:2023-12-30 11:19
目录
概述
定义
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