二项式系数(binomial coefficient),或
组合数,在
数学里表达为:(1 + x)n展开后x的系数(其中n为自然数)。从定义可看出二项式系数的值为整数。
二项式系数对
组合数学很重要,因它的意义是从n件物件中,不分先后地选取k(k为正整数)件的方法总数,因此也叫做组合数。从定义出发,把n个(1+x)项的乘积展开,其中任意k项的x和n−k项的1相乘得出一个x,故此x的系数是从n个选取k个的方法总数。把各项的x标记可以更清楚看出:当n=4, k=2时,
二项式系数是杨辉三角的第n+1行从左起第k+1个数,它最先由
杨辉发现。
二项式系数符合等式可以由其公式证出,也可以从其在
组合数学的意义推导出来。如第一式左项表示从n+1件选取k件的方法数,这些方法可分为没有选取第n+1件,即是从其余n件选取k件;和有选取第n+1件,即是从其余n件选取k−1件。而第二式则是每个从n件选取k件的方法,也可看为选取其余n−k件的方法。
二项式系数表为在我国被称为
贾宪三角或杨辉三角,一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉的《
详解九章算法》(1261)之中。在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》(1427)中也给出了一个
二项式定理系数表,他所用的计算方法与贾宪的完全相同。
在欧洲,德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一般却称之为
帕斯卡三角形,因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何,二项式定理的发现,在我国比在欧洲至少要早300年。 1665年,
牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形,给出了展开式。 二项式定理在组合理论、开高次方、
高阶等差数列求和,以及差分法中有广泛的应用。
其i项系数可表示为 ,即n取i的组合数目。 因此系数亦可表示为
帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)