交运算
数学名词
交运算有两种含义,它可以指集合的交运算,即两个集合的交集,与之对应的是集合的并运算,即两个集合的并集;也可以指格的交运算,与之相对应的是格的结运算。
关于格的交运算
格(lattice)是一类代数结构,它是建立在偏序集之上的,由E的任意元素构造的如下两个集合{且}及{且},它们作为P的子集均仍为偏序集,一般不一定有最小元或最大元。若对P的任意元素,均有最小元,均有最大元,则称P为格,并记为。在格上,把和其最小元的对应关系视为一类二元运算,称为x和y的交,记为,对称地,把和其最大元的对应关系视为x和y的结,记为。它们是格上最基本的运算,这两类运算满足:
1.同一律:
2.交换律:
3.结合律:
4.吸收律:
其中和z均为E的任意元素,因此格又可视为满足上述四条规律的代数结构。
虽然格的理论建立较晚,大约在20世纪30年代左右,但是很快就在解决序集问题和组合问题及代数问题中迅速发展,成为有关研究的有效理论基础,格理论伴随拟阵理论的发展就是一个明显的例证,与一般具有序特征的代数结构不同的是,格中元素的序特征不是外在的,而是内在的,这是由于它们的序关系完全可以等价地由格的内在运算来刻画:当且仅当或者当且仅当,这也反映了格的交运算与结运算的对称性。有一些重要的格的例子。例如,格,这里为E的所有子集的构成的集族,而,其上的结运算为集x和集y的并集,交运算为集x和集y的交集。又如,若自然数n的所有正整除数组成集合为E,E的元素有序关系当且仅当x能整除y,则偏序集为格,为x和y的最小公倍数,为x和y的最大公约数。
集合的交运算
定义
对于任意两个集合A、B,由所有既属于A又属于B的元素构成的集合,称作A与B的交集,记作。即:={且}。
举例说明
例如,,则
又如,,则
如果集合,也就是说集合A和B没有公共元素,则称A、B不相交。
例如:
那么,即A、B不相交。
图形表示
集合之间的运算可以用文氏(John Venn英国数学家,1834-1923)图形象地表示。如图1所示,用平面上的矩形表示全集。用矩形内的圆表示中的任一集合。图1中阴影部分为。
由集合交运算的定义可知,交运算有以下性质:
(1) 幂等律:
(2)同一律:
(3)零律:
(4)结合律:
(5)交换律:
类似地,结合律可以用归纳法推广到有限个集合的情况,记
参考资料
最新修订时间:2022-09-24 10:38
目录
概述
关于格的交运算
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