二次代数函数域，明显决定了几类实二次函数域的基本单位，决定了多类二次函数域的理想类数的下界，给出了类数为 1 的条件，给出了理想类群的结构的一系列定理。发展应用了函数连分式理论。

一个域上的 n(n≥1) 元有理函数域的有限扩张。设 K 是一个在任意域 F 上经添加有限个元素 x1,…,xn,xn+1,…,xs所生成的域，其中 x1,…,xn(n≥1) 在 F 上是代数独立的；xn+1,…,xs关于 F(x1,…,xn) 是代数元，则称 K 是以 F 为系数域的 n 元代数函数域。

当 n=1 时，简称 K 为 F 上的代数函数域，记作 K/F 。 K 中所有关于 F 的代数元成一个子域 F┡ ，称之为 K/F 的常量域。为了方便起见，设 F 本身就是 K/F 的常量域。

除子在代数函数域 K/F 中， K 的一个不平凡赋值，若在 F 上是平凡的，则称为 K/F 的一个赋值，由 K/F 的离散赋值所成的等价类，称之为 K/F 的素除子。这种素除子有无限多个。作形式幂积的积分用有限的形式表出，于是引起对代数函数域的研究，这里 φ(x,y) 是含 x、y 的有理式； y 与 x 满足整关系式 ƒ(x,y)=0 。

代数函数的理论，历来就有几种不同的描述方法，其中之一属于“算术-代数”这一方向，即所谓代数函数域。它始于19世纪80年代R.戴德金和H.韦伯的工作。自20世纪以来，随着抽象代数学的发展，戴德金和韦伯的理论，先后经E.诺特、 H.哈塞、F.K.施密特和 A.韦伊以及其他学者的逐步简化和推广，对域F的限制得以逐步解除，使这一理论的许多内容包括黎曼-罗赫定理，可以在F为任意域的情况下来建立。

(extension of a field)

域论的基本概念之一，若域 K 包含域 F 作为它的子域，则称 K 是 F 的一个扩张（或扩域），F 称为基域，常记为 K/F，此时，K 可以看成 F 上的向量空间，研究扩域 K（相对于基域 F）的代数性质，是域论研究的一个基本内容。

若域 E 是 F 的扩域，K 是 E 的扩域，则称 E 是域扩张 K/F 是域扩张，S 是 K 的子集，且 F(S) 是 K 的含 F 与 S 的最小子域，称F(S) 为 F 添加 S 的扩域，当 S={a1,a2,...,an} 是有限集合时，F(a1,a2,...,an) 称为添加 a1,a2,...,an 于 F 的有限生成扩域（或者 F 的有限生成扩张），它由一切形如

的元组成，其中是 F 上的 n 元多项式且

由于这个原因，当F(a1,a2,...,an) 关于 F 的超越次数≥ 1 时，F(a1,a2,...,an) 也称为 F 上的代数函数域，当 S={a} 时，称 F(a) 为 F 的单扩张域，也称本原扩域，F 的有限代数扩域 K 是单扩张域的充分必要条件是，扩域 K与基域间存在有限个中间域，这是施泰尼茨(Steinitz,E.)证明的。