代数恒等式是数学概念，如果两个代数式A和B，对于它们中字母在允许范围内任意取值，它们都有相同的值，那么就说这两个代数式恒等。

如果两个代数式A和B，对于它们中字母在允许范围内任意取值，它们都有相同的值，那么就说这两个代数式恒等。

记作： 或 。如：

欧几里得《原本》第二卷命题9的陈述是：

如果一直线被等分和不等分地划分为两部分，则以两个不等部分为边的二正方形之和，等于以直线的一半为边的正方形加上以两个分点间的线段为边的正方形之和的两倍。

从这个定理得到代数恒等式

把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式，就称为代数式的恒等变形。

(1) 恒等式的证明，就是通过恒等变形，证明等号两边的代数式相等。

(2) 证明方法：①将左边转化为右边或右边转化为左边，一般从复杂向简单的方向化解；②两边同时变形，化为相同代数式；③证明左边-右边=0或左边/右边=1且右边≠0。

【例1】已知 ，求证： 。

分析： ，证明等式实质就是证明等式左边之和等于1，等式左边的分母有两个字母乘积，要用到已知条件，就必须转化为 三项的乘积。

证明：左边=

故等式成立。

【例2】已知 ，求证： 。

分析：要证明左边等于右边，已知条件为 ，而求证式左右两边同时具备已知的部分条件，从而作差可以较好地证明。

证明：左边-右边

由于古代希腊人完全是用长度表示数，根本没有任何适当的代数符号。为了进行代数运算，他们设计了灵巧的几何程序。这种几何的代数，大部分被后人归功于毕氏学派，并且在欧几里得《原本》前几卷中可以零星地见到。例如，《原本》第二卷有几个命题实际上是以几何术语表达的代数恒等式。看来，可以确信无疑，这些命题是古代毕氏学派用剖分法证明的。我们以第二卷中的几何命题为例讲讲这种方法。

第二卷命题4，把边长为 的正方形分成面积分别为 的两个正方形和两个矩形(图1)，在几何上证明代数恒等式

欧几里得对此命题的陈述是：

如果一条线段被分成两部分，则以整个线段为边的正方形等于分别以这两部分为边的正方形以及以这两部分为边的矩形的二倍之和。

第二卷命题5的陈述是：

如果一线段既被等分又被不等分，则以不等分为边的矩形加上以两分点之间的线段为边的正方形等于以这一线段的一半为边的正方形。

令AB为给定的线段，并等分于P，不等分于Q，则此命题可写作

如果我们令，则导出代数恒等式

或者，如果令，导出恒等式

《原本》中为证明此定理而给出的剖分法比图2中所表示的对命题4的证明要复杂得多。在图2中，PCDB和QFLB分别是以PB和QB为边的正方形。于是

第二卷命题6的陈述是：

如果一线段被平分并被延长到任何一点，则以整个延长了的线段和其延长部分为边的矩形加上以原线段的一半为边的正方形，等于以由原线段的一半加上延长部分构成的线段为边的正方形。

在这里(图3)，如果给定的以P为中点的线段AB被延长到Q，则我们要证明的是

如果我们令，则再一次导出恒等式

并且，这里用的剖分法与命题5所用的剖分法相类似。

如图4、5所示，令，提示恒等式

的一个较为省事的证明。