仿射函数，即最高次数为1的多项式函数。常数项为零的仿射函数称为线性函数。

从 到 的映射，称为仿射变换（affine transform）或仿射映射（affine map），其中 A 是一个 矩阵，b 是一个 m 维向量。当 时，称上述仿射变换为仿射函数。

仿射函数即由 1 阶多项式构成的函数，一般形式为 f(x)=Ax+b，这里，A 是一个 m×k 矩阵，x 是一个 k 向量，b是一个 m 向量，实际上反映了一种从 k 维到 m 维的空间映射关系。

设 f 是一个矢性（值）函数，若它可以表示为 f(x1,x2,…,xn)=A1x1+A2x2+…+Anxn+b，其中 Ai 可以是标量，也可以是矩阵，则称 f 是仿射函数。其中的特例是，标性（值）函数 f(x)=ax+b ，其中a、x、b都是标量。此时严格讲，只有 b=0 时，仿射函数才可以叫“线性函数”（“正比例”关系）。

就一般情形，函数f是仿射函数的充要条件是：对于任意两组向量x1,x2,…,xn与 y1,y2,…,yn，对于任意0≤p≤1，如果 f[px1+(1-p)y1,px2+(1-p)y2,…,pxn+(1-p)yn]≡pf(x1,x2,…,xn)+(1-p)f(y1,y2,…,yn)。

一般称线性组合p1x1+p2x2+…+pnxn，其中 p1+p2+…+pn=1 为仿射组合；一般称所有 pi≥0 的仿射组合为凸组合。其实一般意义上的仿射函数是一个矩阵函数，如果构成一个类似 LMI 的不等式，可以成为仿射矩阵不等式。

仿射函数和线性函数的区别

仿射函数即由 1 阶多项式构成的函数，一般形式为 f (x) = A x + b，这里，A 是一个 m×k 矩阵，x 是一个 k 向量，b 是一个 m 向量，实际上反映了一种从 k 维到 m 维的空间映射关系。

设 f 是一个矢性（值）函数，若它可以表示为 f(x1,x2,…,xn)=A1x1+A2x2+…+Anxn+b，其中 Ai可以是标量，也可以是矩阵，则称 f 是仿射函数。其中的特例是，标性（值）函数 f(x)=ax+b ，其中 a、x、b 都是标量。此时严格讲，只有 b=0 时，仿射函数才可以叫“线性函数”（“正比例”关系）。