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余弦

数学概念

余弦是一种三角函数。锐角的余弦被定义为其在直角三角形中的邻边与斜边的比值。余弦与其它三角函数有着密切的关系。

余弦的定义

锐角的余弦

给定一个锐角，可以作出以为其中一个内角的直角三角形，其中是斜边。

那么该角的余弦被定义为相邻直角边长度与斜边长度的比值，即：

几个特殊锐角的余弦值为：

任意角的余弦

在平面直角坐标系中，轴的非负半轴是一条射线，将该射线绕原点逆时针旋转到某个位置，与原射线形成的图形即为角。由此，角的概念不再仅仅局限于平面几何图形内的锐角、钝角等，而可以推广至任意角。

被旋转到的位置即为该角的终边。大小相差的整数倍的角的终边相同。

设为角的终边上的任意一点，令，那么该角的余弦被定义为：

锐角的正弦、正切也可以推广至任意角。在上述情形中：

余弦函数

实函数

用弧度制来表示角的大小，那么任意角的余弦即为一个定义域为，值域为的函数。

该函数是偶函数，具有最小正周期。函数图像关于直线轴对称，关于点中心对称。函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。

余弦函数的导数与不定积分为：

复函数

余弦函数作为定义在上的复函数，可以用幂级数来定义：

也可以利用欧拉公式，得到如下的等式，从而用指数函数来定义：

其中为虚数单位。余弦函数在复平面解析，其导数为：

恒等变换举例

由三角函数的性质，可得诱导公式：

两角和与差的余弦公式：

二倍角公式：

三倍角公式：

半角公式：

正弦与余弦的平方和：

应用举例

射影定理

设三角形的三边的对角分别为，那么满足

余弦定理

设三角形的三边的对角分别为，那么满足

关于余弦定理的具体内容，可参考词条：余弦定理

方向余弦

对于向量，其与三个坐标轴的正向分别有一个夹角，被称为“方向角”，不妨分别记为。那么分别称为向量的方向余弦。方向余弦组成的向量是原向量的单位向量，即满足关系。此外，三个方向余弦的平方和为1。

参考资料

最新修订时间：2025-03-18 19:07

条目作者

概述

余弦的定义

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