保序映射(order-preserving mapping)是
序论中的一种重要映射，设f:P→Q是
偏序集P到偏序集Q的映射，对任意a，b∈P，若a≤b有f(a)≤f(b) (f(a)≥f(b))，则称f为保序映射(反序映射)，格与格之间的同态必是保序映射，而其逆一般不成立。
基本介绍
(1)若 则称 为保序映射或序同态；
(2)若 则称 为逆序映射或反序同态；
(3)若 ，则称 为保任意并映射，简称保并映射；
(4)若 ，则称 为保任意交映射，简称保交映射；
(5)若(3)和(4)中的S限定取有限集时，则称 为保有限并映射与保有限交映射；
显然，保(有限)并映射或保(有限)交映射都是保序映射，反之不然。
(6)若θ 为保序双射，并且其逆映射也是保序映射，则称θ 为序同构；
(7)若θ 为反序双射，并且其逆映射也是反序映射，则称θ 为反序同构（或对偶同构）。
显然序同构一定是序同态，当 时，序同态（或序同构）θ 叫做偏序集 的自同态（或自同构）。若序同态 是满射，则称偏序集P与Q同态，记作 ；若 是序同构，则称P与Q同构，记作 ：若P与Q的某一个子偏序集同构，则称偏序集P可同构嵌入到偏序集Q中，若 是对偶同构，并且 ，则称 为P的一个自对偶同构，并说偏序集P是自对偶的。
显然，与 同构的偏序集一定与P对偶同构，偏序集在一个反序同构对应下，若不是自对偶的。就一定是成对地对偶的。同样地，关于偏序集的定义和定理，在一个反序同构对应下，若不是自对偶的，就一定是成对地对偶的。
相关定理
由序同构及反序同构的定义，容易证明下述定理。
定理1 设 与 是两个偏序集， 是满射，则下述条件等价：
(1)θ 是序同构（反序同构）；
(2)θ 是可逆映射，并且θ 与 皆是保序的（反序的）；
(3)θ 是双保序的（双反序的），即 ，
注：定理1(2)中要求 保序（反序）是必需的，存在双射（即可逆映射） ，使得θ 是保序的，但 不是保序的，因而θ 不是序同构。
设A是任意一个偏序集， ，称A的下述子集 ，为由 决定的截段。
在偏序集 与偏序集 之间定义映射： 。则易见 ，当且仅当 。特别，当 时，必有 。因此A与 的子偏序集 同构，即偏序集A可以同构嵌入到偏序集 中，于是我们证明了下述结果。
定理2 任意偏序集 均可同构嵌入到某个集合A的幂集偏序集 中。
该定理表明了幂集偏序集的特殊地位。
利用序同构的定义，关于有限偏序集的示图，显然有：
(1)两个有限偏序集同构当且仅当它们可由同一个Hasse图表示；
(2)偏序集P的对偶 的示图可由P的示图上下倒置得到；
(3)有限偏序集P自对偶，当且仅当P有一个上下对称的示图。
根据(1)，对于每一个确定的自然数n，有可能求得所有彼此不同构的n阶偏序集的个数。
推论1两个有限链（反链）同构当且仅当它们的长（宽）相等。
关于对偶同构，我们易证下面定理成立。
定理3 设 与 是两个偏序集， 是对偶同构，A是P的子集， ，则
(1) b是A的最大（小）元 是 的最小（大）元；
(2) b是A的极大（小）元 是 的极小（大）元；
(3) b是A的上（下）界 是 的下（上）界；
(4) b是A的上（下）确界 是 的下（上）确界；
(5) b是P的单位元（零元） 是 的零元（单位元）。
根据定理3，显然有：
对偶原则 若一个关于偏序集的命题在所在偏序集中为真，则其对偶命题（即把其中的偏序代以逆序，最大（小）元代以最小（大）元，极大（小）元代以极小（大）元，上（下）界代以下（上）界，上（下）确界代以下（上）确界，单位元代以零元（单位元），等等）亦真。
设A是任意集合，A的子集族S叫做一个子集环，如果S关于集合的交、并封闭，即 ，称S是一个子集域，如果S关于集合的交、并、补封闭，其中补封闭是指 。
显然A的幂集 是一个子集环，也是一个子集域。
定义 设P偏序集， ，
(1)如果 ，那么 ，则称A是上集（或序滤子）；
(2)对偶地，如果 ，那么 ，则称A是下集（或序理想）。
容易证明：
定理4 设P偏序集，则
(1) 是P的上集（下集）；
(2) P的任意多个上集（下集）的并、交仍是上集（下集）；
(3) A是上集当且仅当 是下集；
(4) P的所有上集（下集）构成一个子集环。
设 ，定义 { 存在 使得 }， { 存在 使得 }。
定理5 设P偏序集，，则以下各条等价：
(1)；
(2) ；
(3) 对任意P的下集Q，。
格的保序映射
设φ是格到的一个映射，如果对任意，如果，则，称是一个从格到的保序映射。
定理6设φ是格到的一个映射，则
(1) 如果φ是一个同态映射，则φ一定是一个保序映射；
(2) 如果φ是双射，则φ是同构映射，当且仅当都是保序映射。
(1)中表明保序映射只是同态映射的必要条件，不是充分条件。利用定理(2)可方便地判别两个格是否同构。如果两个格同构，则两者元素个数一定相同。