偏微分算子是一类常见而又重要的算子。它是微分方程中研究的核心对象。

微分算子是一类常见而又重要的算子。它是微分方程中研究的核心对象。

设A是由某函数空间E1到函数空间E2的映射，f=Au(u∈E1,f∈E2)。如果像f在每个点x处的值f(x)由原像u和它的某些导函数在x处的值所决定，则称A为微分算子。当A还是线性时，称A是线性微分算子。

是线性微分算子，其中α=(α1,α2,...,αn)为负的整数组，|α|=α1+α2+...+αn，aα(x)是定义在n维欧几里得空间某个开集Ω上的函数。

当n=1时，P(x,D)是常微分算子。

当n≥2时，P(x,D)是偏微分算子。

微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。