先验估计是近代研究偏微分方程的一种基本方法和技巧。对偏微分方程定解问题，在解存在的假设下，通过方程系数、自由项及定解条件估计解在某个巴拿赫空间(一般是索伯列夫空间或连续可微函数空间)中的范数的上界的不等式，例子参见“绍德尔估计”、“解的Lp估计”。利用先验估计来探讨偏微分方程定解问题解的存在、惟一及光滑等性质是近代偏微分方程研究的一个重要方法。

先验估计是近代研究偏微分方程的一种基本方法和技巧。对偏微分方程定解问题，在解存在的假设下，通过方程系数、自由项及定解条件估计解在某个巴拿赫空间(一般是索伯列夫空间或连续可微函数空间)中的范数的上界的不等式，例子参见“绍德尔估计”、“解的Lp估计”。

包含未知函数的偏导数(或偏微分)的方程。

方程中所出现未知函数偏导数的最高阶数，称为该方程的阶。

在数学、物理及工程技术中应用最广泛的，是二阶偏微分方程，习惯上把这些方程称为数学物理方程。

由若干个偏微分方程所构成的等式组就称为偏微分方程组，其未知函数也可以是若干个。当方程的个数超过未知函数的个数时，就称这偏微分方程组为超定的；当方程的个数少于未知函数的个数时，就称为欠定的。

如果一个偏微分方程（组）关于所有的未知函数及其导数都是线性的，则称为线性偏微分方程（组）。否则，称为非线性偏微分方程（组）。在非线性偏微分方程（组）中，如果对未知函数的最高阶导数来说是线性的，那么就称为拟线性偏微分方程（组）。

设Ω是自变数空间R中一个区域，u是在这个区域上定义的具|α|阶连续导数的函数。如果它能使方程(2)在Ω上恒等成立，那么就称u是该方程在Ω中的一个经典意义下的解，简称为经典解。在不致误会的情况下，就称为解。

偏微分方程理论研究一个方程（组）是否有满足某些补充条件的解（解的存在性），有多少个解（解的惟一性或自由度），解的各种性质以及求解方法等等，并且还要尽可能地用偏微分方程来解释和预见自然现象以及把它用之于各门科学和工程技术。偏微分方程理论的形成和发展都与物理学和其他自然科学的发展密切相关，并彼此促进和推动。其他数学分支，如分析学、几何学、代数学、拓扑学等理论的发展也都给予偏微分方程以深刻的影响。

在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。

比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。

应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。介质的温度也是这样。这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程。

在数学里，尤其是在泛函分析之中，巴拿赫空间是一个完备赋范向量空间。更精确地说，巴拿赫空间是一个具有范数并对此范数完备的向量空间。

巴拿赫空间有两种常见的类型：“实巴拿赫空间”及“复巴拿赫空间”，分别是指将巴拿赫空间的向量空间定义于由实数或复数组成的域之上。

许多在数学分析中学到的无限维函数空间都是巴拿赫空间，包括由连续函数（紧致赫斯多夫空间上的连续函数）组成的空间、由勒贝格可积函数组成的Lp空间及由全纯函数组成的哈代空间。上述空间是拓扑向量空间中最常见的类型，这些空间的拓扑都自来其范数。

巴拿赫空间是以波兰数学家斯特凡·巴拿赫的名字来命名，他和汉斯·哈恩及爱德华·赫丽于1920-1922年提出此空间。

根据观测值来推测 母体参数的值或范围的过程称为估计。估计分为点估计和区间估计。点估计，是根据观测值估计出对母体 参数θ的估计值T(X1，X2，…… Xn) 的过程。例如，在进行灯泡寿命测定时，根据几个灯泡寿命 来推测一批灯泡寿命的过程，就 为点估计。其过程是： 先抽取若 干个灯泡做样本来测取寿命值 (以小时为单位) ，样本的寿命分别是X1，X2，……Xn，求出 平均值X=X1+X2+……Xn/n和方差：

此时就用平均寿命去估计母体 寿命μ，用方差S去估计母体 σ，即是点估计。

点估计又称定值估计，是指直接用样本平均数或样本成数代替总体平均数或成数，而不考虑误差的一种估计方法。例如，对100名大学生进行收视率调查，调查结果是30%每天收看电视新闻，从而推断，在全体大学生中30%每天收看电视新闻。

一般说来，用抽样指标估计总体指标，总会存在一定差异，但如果满足下面三个要求，就可认为是合理估计或优良估计。一、无偏性。用抽样指标估计总体指标时，个别样本指标与总体指标间会有偏差，而用很多样本指标的平均值估计总体指标，平均说来是无偏差的。二、一致性。用抽样指标估计总体指标，当样本单位数充分大时，抽样指标将充分接近总体指标。三、有效性。用抽样平均数和总体某一变量来估计总体平均数时，虽然两者都是无偏估计量，但样本平均数更靠近总体平均数，平均说来，它的离差较小，因此，是更优良的估计量。

区间估计是根据样本指标和抽样误差推断总体指标落在某一区间范围内的方法。它的数学定义是：设T1(X1， …，Xn)，T2 (X1， …，Xn)为两个统计量，若P {T1(X1，…，Xn)≤θ≤T2 (X1，…，Xn)} = 1-α成立，则称〔T1，T2〕为θ的区间估计，T1称为置信下限，T2称为置信上限，1-α称为置信度， 〔T1，T2〕称为置信区间。α越小，1-α就越大， 区间[T1，T2]的距离就越大，θ落在[T1，T2]之间的概率也就越大;反之越小。α的值直接影响着区间估计的置信区间和置信度，α的值太小，估计区间太大，区间估计就失去了意义。α的值过大，估计区间过小，θ落在[T1，T2]之间的概率就越小，区间估计的置信度下降。通常对于给定的1-α， [T1，T2]有多种取法，因此， “最好”的置信区间应该是：在给定的较大的置信度1-α下(通常取1-α=0. 95)，使[T1，T2]距离最小的区间估计是最好的区间估计。

在数学中，绍德尔估计是由波兰数学家绍德尔在1934至1937年间提出的关于线性、均匀椭圆偏微分方程的解的规律性的结果的理论。 该估计说，当方程具有适当的平滑项和适当平滑的解时，则可以根据系数和源项的霍尔规范来控制解的霍尔规范。 由于这些估计假定存在解，所以称为先验估计。

在数学中，绍德尔估计是由绍德尔（1934-1937年）提出的关于线性，均匀椭圆偏微分方程的解的规律性的结果的集合。估计说，当方程具有适当的平滑项和适当平滑的解时，则可以根据系数和源项的霍尔规范来控制解的霍尔规范。由于这些估计假定存在解，所以称为先验估计。

内部结果都是内部结果，在边界内部的解决方案中给出了Hölder条件，并提供了边界结果，为整个领域的解决方案提供了霍尔条件。前者的界限仅取决于空间维度，方程和与边界的距离；后者也取决于边界的平滑度。

绍德尔估计是使用连续性方法来证明椭圆型PDE的狄利克雷问题的解决方案的存在和规律性的必要先决条件。该结果表明，当方程的系数和边界条件的性质足够平滑时，PDE有一个平滑的经典解。