对于自然天体(
大行星﹑
小行星等)﹐在摄动量级数解的周期项振幅中会出现1/(pn -qn )这种因子﹐n 和n 分别为被摄天体和摄动天体的平均角速度﹐p 和q 为正整数。当n /n =q /p 时﹐pn -qn =0﹐出现共振奇点﹐级数解失效。这就是所谓通约问题。对于
人造地球卫星﹐则有两种共振奇点﹕一是地球的非旋转对称部分(即地球引力场位函数球谐展开式中的田谐项)对卫星的摄动将产生共振奇点﹐这时n 表示
地球自转角速度﹔另一是由于带谐项摄动﹐在长周期项振幅中会出现1/(4-5sini )形式的因子﹐当
卫星轨道倾角i =i =63°26或116°34时﹐4－5 sini =0﹐级数解又失效﹐i 称为临界角﹐相应的就是临界角问题。
当初始条件满足pn -qn =0或4－5sini =0时﹐级数解中出现无穷大项。但这只意味著级数解失效﹐绝对不能说明轨道要素真的会变为无穷大。运动方程本身并无这样的奇点﹐根据
常微分方程解的存在唯一性定理和解对初值的连续性可知﹐天体轨道的变化通过上述“奇点”时﹐仍然是连续的。太阳系中的
脱罗央群小行星和
同步卫星等都是对应于n /n =1/1的情况(见脱罗央群小行星的运动)﹐还有不少轨道倾角接近临界角的
人造地球卫星﹐它们的轨道变化并无反常现象。因此﹐上述奇点问题是方法本身带来的﹐只要在方法上作些改变就不会出现了。对人造地球卫星的运动﹐用初始轨道要素作为起点的古典迭代法﹐根本不会出现临界角问题。综上所述﹐通约和临界角这样的共振奇点并非本质的﹐完全可以改用适当的方法来排除。
解决一个具体问题时﹐可以采用某种特定的方法来避免共振奇点﹔要彻底解决问题﹐则必须搞清楚天体在共振奇点附近的运动特徵。科尔莫戈罗夫等人在研究
哈密顿方程解的稳定性时﹐讨论过共振带的性质。加芬克等人研究了关于地球位函数的带谐项J ﹑J 和田谐项J 对卫星的摄动﹐把通过正则变换消除短周期项后的
哈密顿函数统一写成下列简化形式﹕
式中│B /A │=0(ε )﹐对于临界角问题﹐ε =J ﹔对于通约问题﹐ε =|J |。有时也将B ( )写成ε B ( )或 B ( )﹐ =ε ﹐此时│B /A │=0(1)。如果研究全部带谐项摄动时﹐取其主要项﹐相应地为﹕
│B /A │和│B /A │的量级均为 (即J )﹐这种简化所对应的问题亦称理想共振问题﹐共振奇点就发生在dA /d =0处﹐相应地 pn -qn =0或4－5 sini =0﹐确切地说﹐这仅是H 所确定的运动平衡态的必要条件。根据这一条件﹐用研究 平面(相平面)上奇点性质的定性方法﹐可以给出共振区域(即运动平衡态的邻域)的运动状况。堀源一郎和加芬克等人从分析方法的角度﹐对J 和J 或J 项﹐用正则变换继续消除H 中的 (即消除长周期项)﹐但不是按ε ﹐而是按ε 展开﹐这样也可得到共振区域内的某种运动解﹐在一定程度上给出了共振奇点附近的运动特徵。
共振理论也被用于研究
太阳系天体的动力学演化问题。太阳系的天体几乎都可以说是满足通约条件 n /n =q /p 的﹐如木星与土星约为5/2﹐海王星与冥王星约为3/2﹐
脱罗央群小行星与
木星是1/1﹐……﹔而且还有通约带是空隙(几乎没有或很少发现小行星)等问题(见小行星环的空隙)。用共振理论来研究这些现象﹐至今仍未得到本质性的结论﹐只是在某种程度上作些解释而已。