共轭函数亦称对偶函数、极化函数，函数的某种对偶变换。设f为实线性空间X上的扩充实值函数，X*为X的某个对偶空间，即由X上的一些线性函数所构成的实空间，那么f的共轭函数f*是X*上的扩充实值函数。共轭函数的概念在研究极值问题的对偶理论中起着本质作用。19世纪，法国数学家勒让德首先在力学中引进类似的概念，那是把速度变为动量的变换，对于力学方程来说，这就使得拉格朗日方程变为哈密顿方程。今天，人们就称这样的变换为勒让德变换，勒让德变换的概念实际上出现得比对偶空间或共轭空间的概念还要早，应该说，后一概念的起源之一就是勒让德变换。20世纪50年代，芬切尔又把勒让德变换进一步抽象为共轭函数的概念，因此，今天人们又把函数到其共轭函数的变换称为勒让德-芬切尔变换。

设函数 ，定义函数 为

此函数称为函数 的共轭函数。使上述上确界有限，即差值 在 有上界的所有 构成了共轭函数的定义域。图1描述了此定义。

图1中，函数 以及某一 。共轭函数 是线性函数 和 之间的最大差值，见图中虚线所示。如果 可微，在满足 的点 处差值最大。

显而易见， 是凸函数，这是因为它是一系列 的凸函数(实质上是仿射函数)的逐点上确界。无论f是否是凸函数， 都是凸函数。(注意到这里当 是凸函数时，下标 可以去掉，这是因为根据关于扩展值延伸的定义，对于 )。

Fenchel不等式

从共轭函数的定义我们可以得到，对任意 和 ，如下不等式成立

上述不等式即为Fenchel不等式(当 可微的时候亦称为Young不等式)。

以函数 为例，其中 ，我们可以得到如下不等式

共轭的共轭

上面的例子以及“共轭”的名称都隐含了凸函数的共轭函数的共轭函数是原函数。也即：如果函数f是凸函数且f是闭的(即 是闭集)，则 。例如，若 ，则我们有 ，即f的共轭函数的共轭函数还是f。

可微函数

可微函数f的共轭函数亦称为函数f的Legendre变换。(为了区分一般情况和可微情况下所定义的共轭，一般函数的共轭有时称为Fenchel共轭。)

设函数f是凸函数且可微，其定义域为 ，使 取最大的 满足 ，反之，若 满足 ， 在 处取最大值。因此，如果 ，我们有

所以，给定任意y，我们可以求解梯度方程 ，从而得到y处的共轭函数 。

我们亦可以换一个角度理解。任选 ，令 ，则

伸缩变换和复合仿射变换

若a>0以及b∈R， 的共轭函数为 。

设 非奇异， ，则函数 的共轭函数为

其定义域为 。

独立函数的和

如果函数 ，其中 和 是凸函数，且共轭函数分别为 和 ，则

换言之，独立凸函数的和的共轭函数是各个凸函数的共轭函数的和。(“独立”的含义是各个函数具有不同的变量。)

考虑R上一些凸函数的共轭函数。

，作为x的函数，当且仅当y=a，即为常数时 有界。因此，共轭函数 的定义域为单点集 ，且 。

，定义域为 。当 时，函数 无上界，当y<0时，在 处函数达到最大值。因此，定义域为 ，共轭函数为 。

，当 时，函数 无界。当y>0时，函数 在 处达到最大值。因此 。当 时， 。综合起来， (我们规定 )。

，定义域为 (同上面讨论， )。对所有 y，函数 关于 在 上有上界，因此 。在 处，函数达到最大值。因此 。

， 。当y>0时， 无上界。当y=0时，函数有上确界0；当y<0时，在 处达到上确界。因此， 且 。