凸组合是一类特殊的线性组合，是若干个点的某种特定意义下的非负线性组合。

设向量 如有实数 ，且 ，则称 为向量 的一个凸组合（凸线性组合）。

凸集与凸组合之间的联系如下：

(1) 如果点 的任意凸组合仍包含在D中，则D一定为凸集。

(2) 设 为凸集D中的一点，如果不存在D中的相异点 以及某一实数 ，使得 ，则称 是D的极点，有界闭凸集中的每一个非极点必定是其极点的凸组合。

下面研究在 中向量凸组合的几何意义，在这里，深入研究 的向量，与其说是有向线段，不如说出现在 内的点更好。

直线上的情况

首先考虑 即在直线上的情况，在直线上引入坐标，设有坐标为a，b的两点的凸组合x，则

这个关系式可改写为

但因 ，所以

这就是说 在以 为端点的线段上 (图1)，在 式中令 ，则,令 ，则。

两个向量的凸组合

设 中的向量 的凸组合为 ， 则

可改写为

这表示 在连结 两点的线段上， 中的情况也是一样。

三个向量的凸组合

其次，研究三个向量 的凸组合，设，则有

令

则b是 的凸组合， 因此在连结 ， 并以 为端点的线段上， 由 式有

是b和 的凸组合，因此，在以b和 为端点的线段上，由图2可以看出， 点 在以 为顶点的三角形上。当 中某个等于0时，点 落在这个三角形的边上或顶点上。反过来，这个三角形上的任意点，都可以表示为端点为的凸组合(请考虑其理由)， 因此的凸组合所表示的点的全体就是以它们为顶点的三角形的边界和内部的点。

点数4个以上的情况也是同样的， 中n个点 的凸组合全体形成一个凸多边形，这个凸多边形的顶点或者是 的全部，或者是其中的—部分，在后一种情况，不是顶点的 落在这多边形的边上或内部(图3)。

的情况和 一样，只要把凸多边形改为 “凸多面体”即可。

包含在 中的集合S ,则S为凸集合，这意味着连结S上任意两点的线段上的点全部属于S，即在直观的意义上， S不是凹下去，没有不连接的部分，这就是凸集合这个名词的由来。

中的m个向量 的凸组合的全体，是包含它们的最小凸集合，称为 的凸包。 称形如

的向量为 的非负组合。

这时候没有条件 的非负组合全体称为由 所张的凸锥，这是形成以原点为顶点的放射状的区域，在 中的凸锥如图4所示。

定理1

集合X是凸集的充要条件是X中点的任意凸组合都属于X。

定理2

X的凸包是由X中元素的所有凸组合组成的集合。

定理3

卡拉特奥多里(Caratheodory) 令X是 中集合，若是X中点的凸组合，则是X中个点或更少的点的凸组合。