分块矩阵
高等代数中的一个重要内容
分块矩阵是高等代数中的一个重要内容,是处理阶数较高的矩阵时常采用的技巧,也是数学在多领域的研究工具。对矩阵进行适当分块,可使高阶矩阵的运算可以转化为低阶矩阵的运算,同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰,从而能够大大简化运算步骤,或给矩阵的理论推导带来方便。有不少数学问题利用分块矩阵来处理或证明,将显得简洁、明快。
定义
将一个矩阵用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵,将每个小矩阵称为这个矩阵的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
例如,
其中E1,E3分别表示1阶、3阶单位矩阵,O表示1×3的零矩阵,而 。
同一个矩阵可以有多种不同的分块方法,从而形成不同的分块矩阵。例如上例的矩阵也可分成也可分成
其中E2表示2阶单位矩阵,O表示2阶零矩阵,而 。
运算规则
加法
设 , ,用同样的方法对A,B进行分块,即 , 为同型矩阵,则 。
数乘
设 ,k是任意数,定义分块矩阵 与k的数乘为 。
乘法
设A是 阶矩阵,B是 阶矩阵,即A的列数=B的行数,分块 , ,即A的列分块法=B的行分块法。
则A与B的乘积 是 阶分块矩阵,
其中, 。
转置
设矩阵 是 阶分块矩阵, ,则 。
特殊分块矩阵
分块对角矩阵
设A为n阶方阵,若A的分块矩阵在非主对角线上的子块皆为零矩阵,且在主对角线上的子块都是方阵,即
其中O表示零矩阵, 都是方阵,那么称A为分块对角矩阵。
性质:
① ;
②若 ,则A可逆,且 ;
③同结构的准对角矩阵的和、差、积、数乘及逆仍是准对角矩阵,且运算表现为对应子块的运算。
分块上下三角矩阵
对方阵进行分块后,主对角线上的子块矩阵都是方阵,主对角线以下(以上)的子块矩阵都是零矩阵,即
称为分块上(下)三角形矩阵。
性质:
①同结构的分块上(下)三角形矩阵的和(差)、积(若乘法运算能进行)仍是同结构的分块矩阵。
② 数乘分块上(下)三角形矩阵也是分块上(下)三角形矩阵。
③ 分块上(下)三角形矩阵可逆的充分必要条件是的主对角线子块都可逆;若可逆,则的逆阵也是分块上(下)三角形矩阵。
④ 分块上(下)三角形矩阵对应的行列式: 。
参考资料
最新修订时间:2023-01-07 21:26
目录
概述
定义
运算规则
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