初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量，它们的理论都在若尔当标准形的计算问题方面发挥着重要的作用。

把矩阵 的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因子方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵 的初等因子。

例1 设12级矩阵的不变因子是

按定义，它的初等因子有7个，即

其中 出现三次， 出现两次。

首先，假设 级矩阵 的不变因子 为已知。将 分解成互不相同的一次因式方幂的乘积：

则其中对应于 的那些方幂

就是 的全部初等因子。我们注意不变因子有一个除尽一个的性质，即

从而

因此，在 的分解式中，属于同一个一次因式的方幂的指数有递升的性质，即

这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必定出现 在 的分解中，方次次高的必定出现 在 的分解中。如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是惟一确定的。

上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩阵的级数惟一地作出不变因子的方法。设一个 级矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子中将同一个一次因式 的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这些初等因子的个数不足 时，就在后面补上适当个数的 ，使得凑成 个。设所得排列为

则 就是 的不变因子。

这也说明了这样一个事实：如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变因子，因而它们相似。反之，如果两个矩阵相似，则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初等因子。

两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子。

初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量，但是初等因子的求法与不变因子的求法相比，反而方便一些。

在介绍直接求初等因子的方法之前，先来说明关于多项式的最大公因子的一个性质：

如果多项式 都与 互素，则

其中 表示 的最大公因子。

设

如果多项式 都与 互素，则 和 等价。

下面的定理给了我们一个求初等因子的方法，它不必事先知道不变因子。

首先用初等变换化特征矩阵 为对角形式，然后将主对角上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是 的全部初等因子。