剪应变是指物体受力产生变形时，体内各点处变形程度一般并不相同，用以描述一点处变形的程度的力学量是该点的应变。简单讲就是两个相互垂直的面在受力变形后以弧度表示的夹角的改变量。

剪切模量，材料常数，是剪切应力与应变的比值。又称切边模量或刚性模，材料的力学性能指标之一。是材料在剪切应力作用下，在弹性变形比例极限范围内，切应力与切应变的比值。它表征材料抵抗切应变的能力。模量大，则表示材料的刚性强。剪切模量的倒数称为剪切柔量，是单位剪切力作用下发生切应变的量度，可表示材料剪切变形的难易程度。切变模量的倒数称为剪切柔量，是单位剪切力作用下发生切应变的量度，可表示材料剪切形变的难易程度。

随着科学技术的不断发展和应用领域的日益广泛，力学已经发展了许多分支学科，如固体力学、弹性力学、塑性力学、粘性力学、材料力学、结构力学、工程力学、岩石力学、流体力学以及土力学等等 。这些力学分支学科的一个非常重要的共同点是 : 只要进行内力分析就必然会涉及到应力 ( 包括正应力和剪应力 ) 。剪应力互等定理是应力分析中经常运用的基本定理之一 ，在力学理论研究和生产实践中都有举足轻重的作用。剪应力互等定理在许多力学学科中都有专门的阐述，但有的称之为剪应力互等定理，有的称其为剪应力互等定律，还有其它名称 。尽管不同的文献对剪应力互等定理的表述不同，其名称也有差别，但其实质内容却是完全一致的。通常表述为：两个相互垂直平面上的剪应力τ和τ ’ 数值相等，而且都指向( 或背离 ) 这两平面的交线，此关系称为剪应力互等定理 。剪应力互等定理自建立以来一直沿用至今，是否有人提出过怀疑或修改尚不得而知。

剪应变又称为角应变、切应变或相对剪切变形。它是力学的基本概念之一，在众多的力学分支学科中都有直接或间接的应用。剪应变的概念由来已久；在应用力学文献中一般都有专门的论述，但论述的方式和论述的详略程度各不相同。通过分析可以发现，这些论述虽然文字表达清楚，但对剪应变概念的内涵还规定得不够明确。

剪应变互等定理的条件与原理

通过对比和分析力学各分支学科的有关文献可以看出，建立剪应力互等定理的方法和过程并不复杂。归纳起来主要有两种方法。第一种，以单元体在外力作用下处于静力平衡状态为前提条件，以力矩平衡原理为依据。其证明过程如下： 以平面应力状态为例，左、右两侧面上只有剪应力τ，其方向与 y 轴平行，在前、后两侧面上无任何应力。因为单元体处于平衡状态，由平衡方程Σ Y = 0 可知，单元体左、右两侧面上的内力τ dydz 为大小相等、指向相反的一对力，它们组成一个力偶，其力偶矩为 ( τ dydz) dx；同样，由ΣΧ =0 可知，单元体上、下两平面上也有大小相等、指向相反的一对内力τ′ dxdz ，其力偶矩为 (τ′dxdz) dy 。由力矩平衡条件得知，上述两力偶矩的大小相等而转向相反 ， 所以( τ dxdz) dx = (τ′dxdz) dy。

上式说明：在两个相互垂直平面上的剪应力τ和τ ’ 数值相等，并且都指向 ( 或背离 ) 这两个相互垂直平面的交线，剪应力互等定理由此得证。第二种方法是在求出单向应力状态下斜截面上的应力之后，再根据弹性力学中三个主应力互相垂直的结论，利用力的叠加原理 ，求出两个互相垂直截面上的应力。

疑点分析

第一，如果剪应力互等定理能够广泛成立，由两个相互垂直截面上的剪应力大小相等、指向相反的条件，依据应力大小及方向的对称性，长方形单元体中的直角只能产生变形，即 x 方向的直线 AB 的偏转角等于 y 方向的直线的偏转角，而不会出现偏转角不相等的变形情况。依此推断，也不会出现材料力学中描述过的剪切变形情况。这说明剪应力互等定理与材料力学中叙述的剪切变形是矛盾的，不一致的。另外，根据剪应力互等定理得出的推论是：剪应力不可能出现仅在一个方向存在应力的单向剪应力状态，而只能出现平面和三向两种剪应力状态，这与正应力既有单向应力状态又有平面和三向应力状态显然不一致 ，也不合理。

第二，在上述第一种证明方法中将力矩平衡原理运用于内力不恰当。众所周知，内力是物体内部产生的对外力作用的抵抗力，它随外力的增大而相应地增大。物体 ( 或单元体 ) 能否处于平衡状态，只取决于外力是否达到平衡 ，而不在于内力是否达到平衡。内力的作用只是使物体产生相应的变形而已。

第三 ，上述第二种证明方法实际上属于循环论证，即利用从剪应力互等定理得出的三向主应力相互垂直的结论来证明剪应力互等定理。

剪应变概念的回顾

虽然剪应变的概念在不同的应用力学学科中都有阐述，但就其文字表述方式而言却有明显的差异，归纳起来主要有两种：

第一种把剪应变的概念描述为：剪切变形的特点就是由小矩形变为歪斜的平行四边形，这相当于原来的矩形 ABCD 变为歪斜的平行四边形，歪斜的角度γ称为剪应变。这是材料力学中阐述剪应变概念所采用的方式之一。

第二种将剪应变的概念表述为：物体上两条相互垂直的微小线段，在变形后所夹角度的改变值，称为该处的剪应变。在应用力学文献中一般都采用类似的表述。具体的表达方式各不相同，大多数为文字叙述，也有少数用数学公式表示的。另外 ，还可见到与此表述相近但内容略有不同的剪应变概念，那就是把两条相互垂直的直线所夹角度改变量的一半，称之为角应变 。

剪应变概念的不确定性

从文字上看 ，上述两种方式表达的剪应变概念似乎是完全一致的，但仔细分析却又有所不同。

在第一种描述中，把矩形“歪斜的角度”称为剪应变，从字面上可以有两种理解：一是把“歪斜”理解为由矩形中的直角变为平行四边形中的非直角 ( 钝角或锐角)，那么，“歪斜的角度”也就是直角的改变量γ，这样看，第一种描述与第二种描述的涵义就是一致的，只不过前者是后者的一种特例 ( 直角只朝一个而不是两个方向产生歪斜 ) 而已 ; 二是把“歪斜”理解为线段的角度在变形前后产生的改变，即线段在变形后的偏转，“歪斜的角度”也就是偏转角γ。从剪应变与剪应力的关系可以清楚地看到，这种描述所反映的是在一个方向存在剪应力的“单向剪应力状态”下只朝一个方向产生歪斜的剪应变概念。

第二种描述中的剪应变是指直角的改变量。众所周知，任何一个角的角度变化都是由这个角的两条边单独或共同产生偏转造成的。有无穷多组α和β值满足γ为定值的条件，即α和β的值不确定。用几何关系来说，就是只要保持四边形的形状不变，将其绕固定点任意旋转都能满足第二种描述所表达的剪应变概念的内涵。由此看来，该描述方式中只规定了物体变形后的形状，并没有规定变形产生的方向，也就是说，剪应变的方向具有不确定性。然而如前所述，剪应力互等定理实际上并不成立。从以上分析可以看出，两种方式表述的剪应变概念都具有明显的不确定性或多解性。

现有剪应变概念的修正

通过前面的讨论和分析可以看出，现有的剪应变概念的内涵具有不确定性，因此，必须对其进行修改。大家都知道，剪应变是剪应力作用的结果。剪应变的概念也应当体现剪应变与剪应力的关系。这样，就可以把剪应变的概念修改为：物体上的微小线段的两端在该线段的垂直方向 ( 也是剪应力的作用方向 )上的相对位移量 ( 错动距离)同线段的原长度之比值称为剪应变。当剪切变形不大时，也可以用线段在变形前后的偏转角来表示剪应变。

修改以后的新的剪应变概念与原来的剪应变概念的异同点是：原来的第一种描述中的剪应变概念等同于新剪应变概念的单向剪应力状态 ; 第二种描述中的剪应变概念等同于新剪应变概念的平面( 二向 ) 应力状态 。即原来的第二种描述中的剪应变等于新概念中两个方向的剪应变之和。当两个相互垂直方向的剪应力相等时，新定义的剪应变值只有原定义的一半。原来的剪应变概念所规定的是直角的角度变化，修改后的剪应变概念所规定的是线段的角度变化，两者在数值上有时相等。