割圆连比例是清代级数理论的几何学基础，最先由明安图在《割圜密率捷法》中阐明，其后经项名达、董祐诚等数学家的工作而趋于完善。。割圆连比例的中心问题是已知圆弧长度，如何求弦长及矢高，或已知弦长、矢高，如何求得弧长。割圆连比例中心方法是结合由西方传入的连比例方法，结合传统中算方法，将圆弧分割成多等分，画出多条矢，然后构造一系列相似三角形获得一系列连比例式，再将圆弧分割越细，以折线逼近弧线，求得弧长。

1701年，法国耶稣会传教士杜德美（Pierre Jartoux 1668年至1720年）来到中国，他带来了由艾萨克·牛顿和J.格雷戈里创建的三个三角函数无穷级数

这些计算的“捷法”只涉及乘法和加减运算，速度远超传统[[刘徽割圆术]]涉及的平方根计算，因而激起了中国数学家的极大兴趣。然而杜德美没有将推导这些无穷级数的方法带来中国。明安图怀疑西方人不愿分享他们的秘密，于是他着手进行这项工作，前后历时30年，完成了书稿《割圜密率捷法》，他在书中创建几何模型用于获得三角函数无穷级数，不仅推出杜德美的三个无穷级数，还发现了六个新的无穷级数。在这个过程中，他发现和应用卡塔兰数。

如图一 ABC,BCD,CDE,DEF,FDG…… 是一系列相似三角形，于是。

AB:BC=BC:CD=CD:EF=EF:DF=DF:DG;

AB为第一率，以表示

BC为第二率，以表示

BC为第二率，以表示

CD为第三率，以表示

DE为第四率，以 表示

EF为第五率，以表示

FG为第六率，以表示

……

第m率：

于是：

如图BCD为全弧，AB=AC=AD=为半径,令半径=1；BD为通弦，BC、CD为1/2 分弧。作BG=BC=x,作直线CG;又作DH=DC,连CH直线。因此，

作EJ=EF,FK=FJ；延长BE直线至L，并令EL=BE;作BF=BE,使F在AE线上。连BF延长至M，并BF=MF；连LM，显然LM通过C点。将三角形BLM以BM为轴反转成三角形BMN,C点重合G，L点重合N。将三角形NGB以BN为轴反转至BMI；显然BI=BC。

作CG之平分线BM，并令BM=BC；连GM、CM；作CO=CM交BM于O;作MP=MO；作NQ=NR，R为BN与AC之交点。∠EBC=1/2 ∠CAE=1/2 ∠EAB;因此∠EBM=∠EAB;于是得到一系列相似三角形：ABE,BEF,FJK,BLM,CMO,MOP,CGH,而且三角形CMO=三角形EFJ;于是得:

*连比第一率:AB=AC=AD=AE

*连比第二率：BE=BC=BF=C

*连比第三率:EF=CM

*连比第四率:FJ

*连比第五率:JK=OP

1:BE=BE:EF；即

于是,

即

因为 风筝形ABEC 与BLIN相似，。

<

即

:令BL=q

:

:

:

由此得 或

:又,代人p值得：

,于是

:

:上式平方之，两边除以16：

:即

依次类推

>.

将下列二式相加，可以消去

:同理

.......

展开式各项分子的系数 1，1，2，5，14，42，132……（见图二 明安图原图最后一行，由右至左读）乃是[[卡塔兰数]],明安图是发现此数的世界第一人罗见今 《明安图和他的幂级数展开式》数学传播34卷1期, pp. 65-73。

因而得到：

。

其中

为 明安图-卡塔兰数.

:明安图利用他首创的递推关系：

代人

:最后得到。

:

;

在图一中令BAE角=α，BAC角=2α

明安图获得的

:就是正弦倍角和正弦半角度的正弦展开式

如图，BE为全弧通弦，BC=CE=DE=a为三等分弧。AB=AC=AD=AE=1 为半径。连BC、CD、DE、BD、EC；作BG、EH=BC，Bδ=Eα=BD,于是三角形Cαβ=Dδγ；又三角形Cαβ与三角形BδD相似。

因此：

依次类推，最后得：

。

:几何意义：

明安图获得正弦四倍角度三角展开式：

>

:几何意义：

.

从十分弦开始，明安图不再作几何模型，而是对无穷级数进行代数运算

显然十分弦等于五分弦和二分弦的组合，即

展开即得：

+……

同理：

展开后即得：

令 r=1

…………

。