勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么可以用数学语言表达：

勾股定理是余弦定理中夹角为90°的一个特例。

《周髀算经》中，赵爽描述此图：“勾股各自乘，并之为玄实。开方除之，即玄。案玄图有可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实亦成玄实。以差实减玄实，半其余。以差为从法，开方除之，复得勾矣。加差于勾即股。凡并勾股之实，即成玄实。或矩于内，或方于外。形诡而量均，体殊而数齐。勾实之矩以股玄差为广，股玄并为袤。而股实方其里。减矩勾之实于玄实，开其余即股。倍股在两边为从法，开矩勾之角即股玄差。加股为玄。以差除勾实得股玄并。以并除勾实亦得股玄差。令并自乘与勾实为实。倍并为法。所得亦玄。勾实减并自乘，如法为股。股实之矩以勾玄差为广，勾玄并为袤。而勾实方其里，减矩股之实于玄实，开其余即勾。倍勾在两边为从法，开矩股之角，即勾玄差。加勾为玄。以差除股实得勾玄并。以并除股实亦得勾玄差。令并自乘与股实为实。倍并为法。所得亦玄。股实减并自乘如法为勾，两差相乘倍而开之，所得以股玄差增之为勾。以勾玄差增之为股。两差增之为弦。倍玄实列勾股差实，见并实者，以图考之，倍玄实满外大方而多黄实。黄实之多，即勾股差实。以差实减之，开其余，得外大方。大方之面，即勾股并也。令并自乘，倍玄实乃减之，开其余，得中黄方。黄方之面，即勾股差。以差减并而半之为勾。加差于并而半之为股。其倍玄为广袤合。令勾股见者自乘为其实。四实以减之，开其余，所得为差。以差减合半其余为广。减广于玄即所求也。”

用现代的语言描述就是，在《周髀算经》里，古代中国数学家赵爽给出了如下的证明方法：

如图所示，外围的大正方形边长为a+b，它被划分为长为a和长为b的两部分。从图中可以观察到，线段AB、线段AF、线段BE和线段EF的长度都是c，因此四边形 ABEF 也是一个正方形，正方形ABEF内部的四个三角形是全等的直角三角形，它们的属性和形状都相同，并且两直角边长分别为a和b。

证明：通过采用不同的方法计算并表示出外围大正方形的面积，再放到等式左右两边，化简后即可得出结论。一种方法是利用正方形面积=边长×边长，即。另一种方法是将正方形ABEF 的面积和四个三角形的面积相加，即。这两种方法都可以得出外围大正方形的面积，即，化简后可得。

2002年第24届国际数学家大会（ICM）的会标即为该图。

加菲尔德在证出此结论5年后，成为美国第20任总统，所以人们又称其为“总统证法”。

在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB，，，

∵

该证明为加菲尔德证法的变式。

如果将大正方形边长为c的小正方形沿对角线切开，则回到了加菲尔德证法。相反，若将上图中两个梯形拼在一起，就变为了此证明方法。

大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个三角形的面积，即：

青朱出入图，是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法，特色鲜明、通俗易懂。

刘徽描述此图，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。”其大意为，一个任意直角三角形，以勾宽作红色正方形即朱方，以股长作青色正方形即青方。将朱方、青方两个正方形对齐底边排列，再以盈补虚，分割线内不动，线外则“各从其类”，以合成弦的正方形即弦方，弦方开方即为弦长。

上述内容直白表达就是，青朱两个正方形经过分割、拼合成以弦长为边长的新正方形。如右图所示，将a移动到a’，b移动到b’， c移动到c’，形成一个新的正方形。重点在于新形成的正方形是在原来两个正方形基础上拼合而成，因此新形成的正方形面积与原来两个小正方形面积相等。又因为三个正方形的面积分别是直角三角形三边长的平方，这就完全适合直角三角形两条直角边的平方和等于斜边平方的判定原则。

在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形，其中∠A为直角。从A点画一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在这个定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：

如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS）

三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。

证明的思路为：从A点画一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。

设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。

其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。

分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。

∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因为A与K和L在同一直线上，所以S四边形BDLK=2△ABD。

因为C、A和G在同一直线上，所以S正方形BAGF=2△FBC。

因此S四边形BDLK=BAGF=AB2。

同理可证，S四边形CKLE=ACIH=AC2。

把这两个结果相加，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于CBDE是个正方形，因此AB2+AC2=BC2，即a2+b2=c2。

此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。

由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。

勾股数组

勾股数组是满足勾股定理的正整数组，其中的称为勾股数。例如就是一组勾股数组。

任意一组勾股数可以表示为如下形式：，，，其中均为正整数，且。

定理用途

已知直角三角形两边求解第三边，或者已知三角形的三边长度，证明该三角形为直角三角形或用来证明该三角形内两边垂直。利用勾股定理求线段长度这是勾股定理的最基本运用。

公元前十一世纪，数学家商高（西周初年人）就提出“勾三、股四、弦五”。编写于公元前一世纪以前的《周髀算经》中记录着商高与周公的一段对话。商高说：“……故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。

公元三世纪，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，记录于《九章算术》中“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。

在中国清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法。

远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板，上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，也应用过勾股定理。

公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。

公元前4世纪，希腊数学家欧几里得在《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个证明。

1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一个证法。

1940年《毕达哥拉斯命题》出版，收集了367种不同的证法。

1．勾股定理的证明是论证几何的发端。

2．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理。

3．勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解。

4．勾股定理是历史上第一个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理。

5．勾股定理是欧氏几何的基础定理，并有巨大的实用价值。这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠，被誉为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用。1971年5月15日，尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票，这十个数学公式由著名数学家选出的，勾股定理是其中之首。

勾股定理的逆定理表述为：如果一个三角形的三条边长a、b和c（其中c是最长边）满足关系式，那么这个三角形是一个直角三角形，并且直角位于a和b所夹的角处。

勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是否为直角三角形，在几何证明、研究三角形边角关系时有重要作用。

勾股定理在许多领域都有广泛的应用。

勾股定理在建筑领域中非常重要，它帮助工程师和建筑师计算斜面、楼梯、屋顶或任何倾斜结构的长度。例如，在设计楼梯时，通过测量直角三角形的两个直角边（即楼梯的垂直高度和水平长度），可以使用勾股定理计算出楼梯斜面的实际长度，从而确保楼梯符合安全标准和舒适度。

航海中使用勾股定理可以帮助船员确定最短的航线。在规划从一个坐标点到另一个坐标点的路线时，尽管这些点在地图上可能是通过曲线或多个直线段连接的，但通过将这些点视为直角三角形的顶点，可以使用勾股定理计算出最短的直线距离。

在计算机图形学中，勾股定理用于计算像素点之间的距离，常用于处理图像渲染、动画制作和视频游戏开发。例如当在屏幕上移动或旋转对象时，开发者需要计算对象的新位置，勾股定理可以帮助他们确定这些对象在二维空间中各点之间的精确距离，从而实现平滑且准确的图形表现。