勾股容方是古代中国数学中的一个命题。出自《九章算术》第九卷《勾股》章第十五题。

出处

经三国时数学家刘徽论证，其后又经中国历代数学家研究和扩充为股中容直，句中容横，由此产生一套具有中国传统数学特色的求解直角三角形几何学问题的方法，广泛用于在中国古代几何学和测量学。中国古代没有古希腊欧几里得几何学的平行线概念，采用容方、容横、容直概念，收到异曲同工的效用。

《九章算术》第九卷《勾股》章第十五题；“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？答曰三步十七分步之九。术曰：并勾股为法，勾股相乘为实，实如法而一，得方一步。”如图直角三角形ABC中内接正方形DEFB。直角三角形高（股）H=AB，底长（勾）L=BC，正方形边长为X。答案：以勾5步、股12步之和为分母（并勾股为法）；以勾5步股、12步之积为分子（勾股相乘为实）得勾中容方边长= 12x5/(12+5) = 60/17=3 9/17

刘徽为勾股容方的关系式，提供了两个证明，一个是利用出入相补原理，即利用几何图形在移动、转动时面积守恒，将几何图形重新排列，以求结果的方法。先将三角形ABC复制，倒置，和原三角形合并成为一个高为H、宽为L的长方形，如图。将两个正方形标以黄色，两个大直角三角形标红色，两个小直角三角形标青色[1]。再将左图的两个黄色长方形、两个红色大直角三角形、两个青色小直角三角形，从新排列如右图。从出入相补，面积守恒原理，左图的面积和右图面积相等。左图面积=HL， 右图面积=X(H+L)[2]

HL = X(H+L)

由此得出勾股容方的关系式；

长度X= HL/(H+L)。

刘徽的第二个证明，利用相似三角形比率不变原理。刘徽注曰：“幂图方在勾中，则方之两廉各自成小勾股，其相与之势，不失本率也”。 即内接正方形DEFB的两边DE,EF与直角三角形的三边，各自形成小的直角三角形，而这两个小直角三角形三边的比例，和原来大直角三角形的三边比率相同。刘徽从勾中容方中归纳出“不失本率”原理，即三个相似三角形比率相同。

AD：DE：AE= EF：FC：EC=AB：BC：AC

令股高为H，勾长为L, 勾股容方的边长为 X, 根据不失本率原理，

（H-X）：X = H/L

HL - XL = HX

HL+ XL = HL得勾股容方关系式

X = HL/(H+L)