代数几何是研究多项式方程组在仿射或射影空间里的公共零点集合的几何特性的数学分支学科。换言之，它是研究代数簇的。代数几何与许多其他数学分支有着密切的联系。包络代数(enveloping algebra)是代数几何中的重要概念，是指由给定代数与其反代数构造的张量代数。

代数几何是研究多项式方程组在仿射或射影空间里的公共零点集合的几何特性的数学分支学科。换言之，它是研究代数簇的。代数几何与许多其他数学分支有着密切的联系。通常假设代数簇V中点的坐标在某个固定域k中选取，k称为V的基域。V为不可约(即V不能分解成两个比它小的闭代数子簇的并)时，V上所有有理函数(即两个多项式的商)全体也构成一个域，称为V的有理函数域，它是k的一个有限生成扩域。通过这样的一个对应关系，代数几何可以看成是用几何的语言和观点来研究有限生成扩域。

代数几何的基本问题就是代数簇的分类。包括双有理分类与双正则分类(即同构分类)。若一个代数簇V1到另一个代数簇V2的映射诱导了函数域之间的同构，则称该映射为双有理映射。设有两个代数簇V1，V2，若V1中有一个稠密开集同构于V2的一个稠密开集，则称V1，V2是双有理等价的。这等价于V1和V2的函数域之间的同构。按这个等价关系对代数簇进行分类就称为双有理分类。分类理论是这样建立的：首先，找出代数簇的双有理等价类;其次，在这个等价类中找到一个好对象的子集，如非奇异射影簇，对它们进行分类；第三步就是确定一个任意簇与这些好的对象相差多远。因为任意特征0的基域上的代数簇都双有理等价于一个非奇异射影簇，所以为实现这三步，人们往往先找一组与非奇异射影簇对应的整数，称为它的数值不变量。例如，在射影簇的情形，它的各阶上同调空间的维数就都是数值不变量。然后试图在所有具有相同的数值不变量的代数簇的集合上建立一个自然的代数结构，称为它们的参量簇，使得当参量簇中的点在某个代数结构中变化时，对应的代数簇也在相应的代数结构中变化。目前，只有代数曲线、一部分代数曲面以及少数特殊的高维代数簇有较完整的分类。

20世纪初期，由于抽象代数方法的引入，抽象域上的代数几何理论建立起来了。特别是在20世纪50年代，塞尔(Serre，J.P.)把代数簇的理论建立在层的概念上，并建立了凝聚层的上同调理论，这为格罗腾迪克(Grothendieck，A.)随后建立概形理论奠定了基础。概形理论的建立使代数几何的研究进入了一个全新的阶段。概形的概念是代数簇的推广。粗浅地，它允许点的坐标在任意有单位元的交换环中选取，并允许结构层中有幂零元。概形理论把代数几何和代数数域的算术统一到了一个共同的语言之下，这使得在代数数论的研究中可以应用代数几何中大量的概念、方法和结果。

20世纪以来，复数域上代数几何中的超越方法也有重大的进展，例如，德·拉姆(de Rham，G.-W.)的解析上同调理论，霍奇(Hodge，W.V.D.)的调和积分理论的应用，小平邦彦和斯潘塞(Spencer，D.C.)的变形理论以及格里菲思(Griffiths，P.)的一些重要工作。这使得代数几何的研究可以应用偏微分方程、微分几何、拓扑学等理论。

包络代数是指由给定代数与其反代数构造的张量代数。设A是R代数，A的反代数与代数A的张量代数称为A的包络代数。如此定义的代数与A看做另一个交换环S(比如，S是R的子环或A的中心)上代数的包络代数是不同的。若A是有1的R代数，则每个右模M皆为A双模，其模乘法为：

对任意m∈M，a，b∈A。反之，若在A双模M中规定：

则M是右模。包络代数是研究R分离代数的工具。

设E为交换体K上的向量空间。对任一自然数偶(p，q)，存在唯一的从到中的双线性映射Npq，使对Ep的任一元素(x1，…，xp)与Eq的任一元素(xp+1，…，xp+q)，有：

(对任一自然数n，Tn(E)表示E的n次张量幂.)

双线性映射Npq在向量空间Tn(E)上定义一个酉K-代数结构。这个酉代数叫做向量空间E的张量代数，记为T(E)。

这个代数是结合的；它由E=T(E)生成。此外，对于任一结合的酉K-代数B及从E到B中的任一线性映射f，f以唯一的方式拓展成一个从酉代数T(E)到酉代数B中的同态。设F为K上的向量空间，而T(F)为F的张量代数。则对从E到F中的任一线性映射f，存在唯一的从酉代数T(E)到酉代数T(F)中拓展f的同态。这个同态叫做线性映射f的张量开拓，记为T(f)。

张量代数的特征性质。它更能揭示张量代数的本质。也可用来定义张量代数。设V为域K上的向量空间。若U为K上有单位元1的结合代数，ε：V→U为线性映射，称(ε，U)对(或U)具有V上张量代数的泛性质，若它们满足如下条件：

1.Im ε与1代数地生成U.

2.对任意的有单位元e的K上结合代数A及任意的线性映射η：V→A，都有代数同态h：U→A使h(1)=e且hε=η.

上述条件1和2可改为：对任意的有单位元e的结合代数A及任意的线性映射η：V→A，都有惟一的代数同态h：U→A，使h(1)=e且hε=η。当V取定后，满足上述泛性质的代数U在代数同构意义下是惟一的，因此上述的U必同构于用向量空间上的张量代数中的办法具体构作出的张量代数V。

亦称可分代数。与分离扩域密切相关的代数。设是R代数A的包络代数。若A作为右模(模乘法)是投射的，则称A为分离代数。若，则μ为到A的R模满同态。于是，A是分离的，当且仅当：

是分裂正合的。分离代数A作为R的子环上代数未必分离，但对任一R交换代数S，其纯量扩张As=ARS是分离S代数。分离代数最初是对域F上代数定义的，即F代数A是分离的充分必要条件是A为有限维代数，且对F的每个扩域E，AE=AFE是半单的。“分离”来源于F的扩域E是分离F代数的充分必要条件是E为F的分离扩域。域F上分离代数有如下结构定理：F代数A是分离的，当且仅当：

其中Ai是有限维F代数，且Ai的中心是F的分离扩域。