十六元数透过实数形成16维的向量空间。彷如八元数，其乘法不符合交换律及结合律。此外，它甚至还不符合交错性。十六元数的16个单元十六元数是：1, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10, e11, e12, e13, e14和e15。

单元乘法表如下：

× 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15

1 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15

e1 e1 -1 e3 -e2 e5 -e4 -e7 e6 e9 -e8 -e11 e10 -e13 e12 e15 -e14

e2 e2 -e3 -1 e1 e6 e7 -e4 -e5 e10 e11 -e8 -e9 -e14 -e15 e12 e13

e3 e3 e2 -e1 -1 e7 -e6 e5 -e4 e11 -e10 e9 -e8 -e15 e14 -e13 e12

e4 e4 -e5 -e6 -e7 -1 e1 e2 e3 e12 e13 e14 e15 -e8 -e9 -e10 -e11

e5 e5 e4 -e7 e6 -e1 -1 -e3 e2 e13 -e12 e15 -e14 e9 -e8 e11 -e10

e6 e6 e7 e4 -e5 -e2 e3 -1 -e1 e14 -e15 -e12 e13 e10 -e11 -e8 e9

e7 e7 -e6 e5 e4 -e3 -e2 e1 -1 e15 e14 -e13 -e12 e11 e10 -e9 -e8

e8 e8 -e9 -e10 -e11 -e12 -e13 -e14 -e15 -1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7

e9 e9 e8 -e11 e10 -e13 e12 e15 -e14 -e1 -1 -e3 e2 -e5 e4 e7 -e6

e10 e10 e11 e8 -e9 -e14 -e15 e12 e13 -e2 e3 -1 -e1 -e6 -e7 e4 e5

e11 e11 -e10 e9 e8 -e15 e14 -e13 e12 -e3 -e2 e1 -1 -e7 e6 -e5 e4

e12 e12 e13 e14 e15 e8 -e9 -e10 -e11 -e4 e5 e6 e7 -1 -e1 -e2 -e3

e13 e13 -e12 e15 -e14 e9 e8 e11 -e10 -e5 -e4 e7 -e6 e1 -1 e3 -e2

e14 e14 -e15 -e12 e13 e10 -e11 e8 e9 -e6 -e7 -e4 e5 e2 -e3 -1 e1

e15 e15 e14 -e13 -e12 e11 e10 -e9 e8 -e7 e6 -e5 -e4 e3 e2 -e1 -1

如图1,2所示，可以证明B1,B2...,B16,·为Γ的一组基,并且可以证明 =（1,2,3,……,16)中彼此不同的任意四个元素均可以作为生成元,生成与 =(1,2,...,16)同构的十六个元数的实矩阵表示形式,因此如上B1,B2...,B16,便可以得到Γ的一个实矩阵实现.

定理1

定理2 ,j=1,2,…,16.

定理3 的迹为零，i=1,2,…,16.

定理4 ,其中i,j,k=1,2,…,16.

定理5 或者 i,j,k=1,2,…,16.

定理6 为线性无关的.

定理7 任一4阶矩阵。均可表为 的线性和;

定理8如果矩阵B与任一 均满足乘法交换律,即 (i=1,2,...,16),那么B=kI.

总之，1×任意一个元数ex=这个元数ex，任意一个元数ex×1=这个元数ex，任意一个元数ex的平方都等于－1（除了1以外）