群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

博雷尔子群(Borel subgroup)是代数群的一类可解子群。指代数群G的极大连通可解子群。G的不同博雷尔(Borel，A.)子群在G中互相共轭。例如，当G=GL(n，K)或SL(n，K)时，所有上三角矩阵组成的子群就是一个博雷尔子群。

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若对G的乘法也成为群，则称H为G的子群，记为H≤G。若子群H≠G，则称H为G的真子群，记为HG或简记为H充分必要条件是：对任意的a，b∈H，恒有ab∈H.若{Hi|i∈I}是G的子群的集合，I是一个指标集，则所有Hi的交Hi是G的一个子群。

代数群是指具有某种拓扑结构的群。代数群理论是群论与代数几何学结合的产物，可以看成李群理论的推广或者同李群理论平行的一个群论分支。若G是代数闭域K上的代数簇，又具有群的结构，且乘法运算G×G→G(这里的“×”表示簇的扎里斯基(Zariski，O.)积)与求逆运算G→G都是簇的态射，则称G为代数群。若G作为簇是不可约的，则称此代数群是连通的。代数群的闭子簇若同时也是个子群，则称为闭子群，它仍是个代数群。代数群关于它的正规闭子群的商群也是个代数群。例如，K上n级一般线性群(K上n级非奇异矩阵全体所成的群)GL(n，K)是代数群;K上n次特殊线性群(K上行列式1的n阶矩阵全体所成的群)SL(n，K)是GL(n，K)的闭子群。若代数群G的簇结构是仿射的，则称G为仿射代数群或线性代数群。采用后一术语的理由是，这种群都同构于某个GL(n，K)的闭子群.若G的簇结构是完备的，则称G为阿贝尔簇。阿贝尔簇的群结构很简单(都是阿贝尔群)，且被簇结构惟一决定，因此它的研究属于代数几何学的范畴。另一方面，对任意代数群G，总可以惟一地找到一个正规的仿射闭子群N，使G/N是阿贝尔簇。因此，代数群理论研究的主要是仿射的(即线性的)代数群，并把仿射代数群简称代数群。代数群及其表示理论与域论、多重线性代数、交换环论、代数几何、李群、李代数、有限单群理论以及群表示理论等数学分支都有十分密切的联系，是近年来代数学的一个相当活跃的分支。

可解群是一种重要的群类。即可由交换群经有限步叠加而得的群。若群G有一个有限长的正规群列G≥G1≥G2≥…≥Gn=1，使得每个商因子都是交换群，则称G是一个可解群，或称G是可解的。可解群的概念源自伽罗瓦(Galois，E.)对解代数方程的研究，他发现由一个代数方程的所有解可产生一个置换群(也就是扩域的自同构群，称之为一个伽罗瓦群)，这个代数方程能用根式解出当且仅当该群具有正规列。可解群的名称由此而来。霍尔(Hall，P.)于20世纪30—40年代对有限可解群理论做了奠基性贡献。费特-汤普森奇阶定理成为另一个里程碑。近几十年，有限可解群研究仍属活跃领域。例如群系等群类理论就始于有限可解群研究并以可解群为重点。对无限可解群的研究也有了长足的进步。尽管有限可解群的研究方法与成果不能完全推到无限可解群，但带交换商因子的正规列这一定义条件使很多思想与工具，如模论、表示论等，均可发挥出色的作用。

博雷尔是瑞士-美国数学家。生于瑞士拉绍德林。1947年毕业于瑞士联邦工学院；1952年获巴黎大学博士学位.曾任教于瑞士联邦工学院、美国芝加哥大学，1957年起，任普林斯顿高等研究院教授。他还曾任马萨诸塞理工学院、印度塔塔研究所、法国巴黎大学、日本东北大学等院所的访问教授.1976年，他被选为美国艺术与科学学院院士；1987年，被选为美国全国科学院院士。1962年和1974年，两次应邀在国际数学家大会上作报告。

博雷尔主要研究李代数。950年，他和塞尔(Serre，J.P.)证明了用紧纤维对欧氏空间进行纤维表示是不可能的。他曾以“博雷尔结构”为基础重建了史密斯理论，而且和穆尔(Moore，G.H.)一起发展了一个新的同调理论.1956年发表的“线性代数群”是一篇经典性文献，它使线性代数群的发展发生了历史性转折.他和谢瓦莱(Chevalley，C.)等人为线性代数群建立了一般理论。他还解决了算术群中的共紧性(Co-Compactness)判别、商空间的紧化等问题。在最近20多年中，他在算术群上同调及其应用和多种上同调理论方面，在自守型、实与p进李群的无限维表示理论方面做了许多工作。现在代数群中有“博雷尔理论”、“博雷尔子群”和“博雷尔不动点定理”等。博雷尔在1978年获荷兰数学会的布劳威尔奖章，1991年获美国数学会斯蒂尔奖，1992年获国际巴尔扎恩(Balzan，E.)基金会颁发的巴尔扎恩奖。1983年，斯普林格出版社还出版了他的三卷本文集。