1概述

2卵圆标准方程

卵圆的概念来自于禽鸟类的卵在平面上投影的形状，习惯上称作卵圆。具有一条对称轴；三个参数；一头大一头小，两头不对称，见示意图1。

图1 卵圆示意图是以x轴为对称轴的卵圆标准方程：

（1）式中a、b、c为卵圆的参数，其中a称做长半轴、b称做短半轴、c称做半宽。当a=b时便是椭圆方程，当a=b=c时便是圆方程。

卵圆图形具有方向性，有四种相似标准方程，通过坐标旋转可以得到另三种方程。

3方程推导

卵圆方程是基于椭圆（圆）的图形特征和方程性质，应用一元二次方程待定系数方法确定卵圆的方程系数。

3.1椭圆

3.1.1图形特征

图2 椭圆示意图

椭圆是对称图形，具有两条对称轴。为了便于对卵圆的描述，设：x轴为长=2a，y轴为宽=2c；x轴为对称轴，y轴不限，反之亦然。由于x轴为对称轴，y轴上宽的两点看作是关于原点的对称点。通过对椭圆图形在x轴上进行挤压或拉伸，使x轴上一边的-a点移动到-b点，即a、-b两点与原点不对称，宽保持不变，生成类似于禽鸟类卵的形状——卵圆，见图1。

3.1.2方程特性

根据椭圆知识，由图2可知其标准方程：

椭圆标准方程的基本特性：一是没有乘积项和一次项，是最简单的二元二次方程；二是变量x和y的系数分别为椭圆特征值（a、c）平方的倒数且相等；三是方程系数确定椭圆在坐标轴上点的位置。

3.2系数待定法

椭圆的标准方程系数反映变量在坐标轴上两个点的位置，坐标轴上的两个点必然是方程的两个解。对于长半轴为a的椭圆，当y=0时，由方程（2）得：

式（3）属于简单的一元二次方程。一般情况能够直接得出的两个解： 、 。

代数中，两个解的一元二次方程可以用因式分解乘积式方程表示：

式（3）和式（4）是等价的，只是表达方式不同。由于图形变化，式（3）中系数参数也会发生相应变化，具有不确定性。式（4）属于方程代数式，只与变形的结果相关，结果是确定的。可以利用式（4）确定变形后的方程系数，把这种方法称为系数待定法。

系数待定的具体步骤：设卵圆标准方程变量x的对应系数为u的倒数，代入椭圆标准方程得标准卵圆方程：

当y=0 时，由方程（5）得：

设卵圆在x轴的点分别为：a、-b，则因式分解乘积式方程：

令：方程（6）=（7），故：

化简得：

将（9）代入（5）式得卵圆的标准方程：

4基本性质

卵圆曲线系复合函数方程，是以参数a、b和变量x相关的多项式为半轴与以c为半宽形成的不同椭圆的特定点的集合。

椭圆的最大半轴为a，最小半轴为b，x取值范围 。当x任取一值时，确定一个椭圆方程和在椭圆方程中对应点的y值，这个点也是卵圆曲线上的点。由于x是连续的，所以形成的点的集合属于光滑曲线。

示例，设卵圆的三个参数为：a=5、b=4、c=3。首先，将参数代入式（1）得卵圆方程：

其次，任取一值如 以，先只代入卵圆的方程系数，得特定的椭圆方程：

然后，再以x=1代入特定的椭圆方程算得：y=2.9277。

x 、y的坐标（1，2.9277）点，既是椭圆上的点也是卵圆上的点。x的不同取值得到对应的y值,把得到的点光滑连接起来便是上述卵圆方程的曲线。

卵圆是具有一条对称轴的圆。卵圆的宽偏离对称轴的中点，并把对称轴分成不相等的长、短两个半轴；两端不对称一头大一头小，小头为长半轴，大头为短半轴。当对称轴大于宽时属于长型卵圆，宽大于对称轴时属于扁型卵圆。

卵圆是三参数图形，长半轴以a表示、短半轴以b表示和半宽以c表示；三个参数必须大于0，参数之间相互独立没有隶属关系；三个参数确定卵圆的形状和大小。

长和宽的交点是卵圆的卵心，是确定卵圆的位置和图形分析的参照点。卵圆没有固定的焦点，不能形成动点与定点之间的固定关系。

作图方法：一是电脑编程作图，二是手工描点作图。

参考文献

[1] 刘绍学.数学2圆与方程[M].北京；人民教育出版社.2007；118-122.

[2] 刘绍学.数学选修2-1椭圆 [M].北京；人民教育出版社.2007；38-48.