卷绕数
数学概念
平面上的闭曲线关于某个点的卷绕数(winding number),是一个整数,它表示了曲线绕过该点的总次数。卷绕数与曲线的定向有关,如果曲线依顺时针方向绕过某个点,则卷绕数是负数。
直观描述
假设在xy平面上有一条有向的闭曲线。我们可以把曲线想象为某个物体的运动轨迹,运动方向就是曲线的方向。曲线的卷绕数就是物体逆时针绕过原点的总次数。
计算绕过原点的总次数时,逆时针方向的运动算正数,顺时针方向的运动算负数。例如,如果物体首先依逆时针方向绕过原点四次,然后再依顺时针方向绕过原点一次,那么曲线的卷绕数就是3。
利用这种方案,根本不绕过原点的曲线的卷绕数就是零,而顺时针绕过原点的曲线的卷绕数就是负数。因此,曲线的卷绕数可以是任何整数。以下的图中显示了卷绕数为-2、-1、0、1、2和3的曲线:
形式定义
x-y平面上的曲线可以用参数方程来定义:
如果我们把参数t视为时间,那么这个方程就描述了物体在 t=0 和 t=1 期间在平面上的运动。只要函数 x(t) 和 y(t) 是连续的,运动的轨迹就是一条曲线。只要物体的位置于 t=0 和 t=1 时相同,这条曲线就是闭曲线。
我们可以用极坐标系来定义这种曲线的卷绕数。假设曲线不经过原点,我们可以把参数方程写成极坐标的形式:函数 r(t) 和 θ(t) 必须是连续的,r>0。因为最初和最终的位置是相同的,所以 θ(0) 和 θ(1) 的差必须是 2π 的整数倍。这个整数就是卷绕数:
这个公式定义了 x-y 平面上曲线关于原点的卷绕数。把坐标系平移,我们就可以把这个定义推广到关于任意一点 p 的卷绕数。
回转数
我们也可以考虑路径关于其自身正切的卷绕数。路径随着时间的推移而变化,回转数可定义为速度矢量关于原点的卷绕数。于是,在本文开头所给的示例中,其回转数为3,因为计算的是小环路。
这仅适用于浸入路径(immersed path,即导数处处非零的可微路径),是切向高斯映射的映射度。
这种计算曲线正切旋转次数的卷绕数称之为回转数(turning number)、旋转数(rotation number)、旋转指数(rotation index)或曲线指标(index of the curve),可以用总曲率除以 2π 来计算。
参考资料
最新修订时间:2023-10-03 23:01
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