微分动力系统是微分流形上由常微系统或微分同胚生成的动力系统。研究的核心内容是结构稳定性和Ω稳定性的特征性质。它起源于常微分方程结构稳定性的研究。

双曲不变集是双曲周期点概念的推广，是微分动力系统的一个极为重要的不变集。设M是黎曼流形，U⊂M是M的一个开集，f∈C1(U，M)是从U到f(U)的微分同胚，∧是U的紧致子集。如果：

1.∧关于f是不变的，即f(∧)=∧；

2.T∧M=(TM)|∧分解为关于Df不变的连续的惠特尼和

3.对于M的黎曼度量〈·，·〉，存在常数C1>0，C2>0和0<λ<1，使得：

则称紧致子集∧是f的一个双曲不变集，这里|·|是由黎曼度量给出的模。对于定义中的第3条已证明：存在与〈·，·〉等价的黎曼度量《·，·》和常数0<τ<1，使得：

当双曲不变集∧是f的一周期轨道组成，并且p∈∧，那么p就称为双曲周期点。这一定义等价于“双曲不动点”条目中所给的定义(参见“双曲不动点”)。当M紧致，微分同胚f：M→M以M为双曲不变集时，f被称为安诺索夫微分同胚。系统的双曲不变集是结构稳定的；安诺索夫微分同胚是结构稳定的和拓扑稳定的。

微分动力系统是微分流形上由常微系统或微分同胚生成的动力系统。研究的核心内容是结构稳定性和Ω稳定性的特征性质。它起源于常微分方程结构稳定性的研究。虽然1937年，安德罗诺夫(Андронов，А.А.)与庞特里亚金(Понтрягин，Л.С.)就提出此概念，但直到1959至1962年佩克索托(Peixoto，M.)得出二维闭曲面上C常微系统结构稳定的充分必要条件以及稠密性定理(参见“佩克索托定理”)，结构稳定的研究才受到足够重视。以斯梅尔(Smale，S.)为代表的西方学者们研究高维流形的C结构稳定系统与Ω稳定系统，由于该研究的复杂性，他们首先从流形上微分同胚生成的离散微分动力系统着手(这种系统通过扭扩可成为高一维流形上的常微系统)，主要是通过稳定流形理论与泛函分析方法。以佩克索托对二维流形结构稳定系统的特征研究为蓝本，斯梅尔将其推广到一般流形上，称之为莫尔斯-斯梅尔系统，并证明其为结构稳定的。但随后举出不属于这种系统的结构稳定系统，例如，托姆环面双曲自同构和安诺索夫微分同胚以及斯梅尔马蹄，它们的周期点都是无穷多的。后来发现结构稳定系统一般不是稠密的。1967年，斯梅尔提出结构稳定性猜测和Ω稳定性猜测，这两个猜测对C微分同胚和常微系统已获解决。中国数学家廖山涛于20世纪60年代初开始进行微分动力系统的开创性的研究工作，他以微分拓扑与黎曼几何为工具建立了典范方程组与阻碍集这两个概念为核心的微分动力系统的研究体系，直接将常微系统(即向量场)按积分曲线上的活动标架展开为微分方程组加以研究，另辟一条研究微分动力系统的途径，取得许多重要成果。微分动力系统的研究近年来逐渐涉及非稳定的课题，例如分岔和混沌等，有些研究与遍历性交叉，出现微分动力系统的遍历性理论。微分动力系统又分为C流、离散微分动力系统和离散微分半动力系统。

双曲周期点又称双曲不动点，是可微映射具有局部结构稳定性质的不动点。它的常见定义是在一般黎曼流形上给出。设U是黎曼流形M的开集，p∈U是f∈C(U，M)的不动点。若Df(p)：TpM→TpM是双曲线性映射，则称p是f的双曲不动点。在一般巴拿赫空间中，它的定义是：设(E，‖·‖)是巴拿赫空间，U⊂E是开集，p∈U是f∈C(U，E)的不动点。若Df(p)：E→E是双曲线性映射，则称p是f的双曲不动点。在局部坐标卡下，前一定义是后一定义的特款。双曲不动点在C小扰动下不会消失的动力行为在结构稳定性研究中有着重要的作用，例如，在双曲不变集及安诺索夫系统的结构稳定性的证明中就是如此。紧流形上的不动点都是双曲的微分同胚集合在全体微分同胚空间中是开稠的。若p是f的周期为k的周期点，并且p是f的双曲不动点，则称p是f的双曲周期点。

微分同胚是微分流形之间的一类同胚映射。它与它的逆映射都是可微的。设M，N均为微分流形，对于映射f：M→N，若f是同胚映射，并且f，f都是C可微映射，则称f为M到N上的C微分同胚。C微分同胚f：M→N简称M到N上的微分同胚。对于微分流形M，N，若存在(C)微分同胚f：M→N，则称M与N是(C)微分同胚的微分流形，记为MN.“”是微分拓扑学中的基本等价关系。微分拓扑的基本任务是研究微分流形在微分同胚下保持不变的性质，以及寻求在怎样的条件下两个微分流形是微分同胚的。米尔诺(Milnor，J.W.)于1956年证明，在S上至少存在两个不微分同胚的微分构造。后来证实，S上恰好有15个这样的不同的微分构造。

设E与F为R或C上的两个赋范向量空间，U，V分别为E与F的开集。称从U到V中的映射f是(C类的)微分同胚，如果这个映射本身及其逆映射都是双射，而且是连续可微的。

设p为大于1的整数. 称f是Cp-微分同胚，如果f及其逆映射都是双射，而且是Cp类的映射。为使微分同胚f是Cp-微分同胚，只须f是C类的。

C∞-微分同胚的定义可同样给出。

黎曼流形是一黎曼度量的微分流形。设M是n维光滑流形，若在M上给定一个光滑的二阶协变张量场g，称(M，g)为一个n维黎曼流形，g称为该黎曼流形的基本张量或黎曼度量，如果满足：

1.g是对称的，即：

g(X，Y)=g(Y，X) (X，Y∈TpM，p∈M).

2.g是正定的，即：

g(X，X)≥0 (X∈TpM，p∈M)，

且等号仅在X=0时成立。

简单地说，黎曼流形就是给定了一个光滑的对称、正定的二阶张量场的光滑流形。