考虑数z = x + jy，其中x,y是
实数，j不是
实数，j2=1
双曲复数定义
考虑数z = x + jy，其中x,y是
实数，j不是实数，j2=1
定义双曲复数的加法，减法，乘法如下，使之符合交换律、结合律和分配律：
共轭
对于z = x + jy，其共轭值z * = x − jy。对于任何双曲复数z,w，
(z + w) * = z * + w *
(zw) * = z * w *
(z * ) * = z
可见它是自同构的。
定义内积为 。若 ，说z,w（双曲）正交。
范数
双曲复数的范数的平方就取自己和自己的内积，即自身和其共轭值之乘积（闵可夫斯基
范数）：
这个
范数非正定，其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不变。
除法
除了0之外，也不是每个双曲复数都有乘法逆元。
双曲复数可逆当且仅当其平方范数非零。
基
双曲复数有哪些幂等元
列方程。有四个解：1,0,s = (1 − j) / 2,s * = (1 + j) / 2。
s和s^*都是不可逆的。它们可以作双曲复数的基。z = x + jy = (x − y)s + (x + y)s * 。
若将z = ae + be * 表示成(a,b)，双曲复数的乘法可表示成(a,b)(c,d) = (ac,bd) 。因此，在这个基里，双曲复数的加法和乘法和直和R⊕R同构。
共轭可表示为(a,b) * = (b,a)。
几何
有闵可夫斯基内积的二维
实向量空间称为1+1闵可夫斯基空间，表示为R1,1。正如欧几理德平面R2的几何学可以复数表示，
闵可夫斯基空间的几何学可以双曲复数表示。
在R，对于非零的a，点集 是双曲线。左边和右边的会经过a和 − a。a = 1称为单位双曲线。
共轭双曲线是 ，会分别经过ja和-ja。双曲线和共轭双曲线会被成直角的两条渐近线 分开。
欧拉公式的相应版本是，其中cosh和sinh是
双曲函数历史背景
1848年James Cockle提出了Tessarines。1882年威廉·金顿·克利福德以双曲复数表示
自旋和。
20世纪，双曲复数成为描述狭义相对论的
洛仑兹变换的工具，因为不同参考系之间的速度
变换可由
双曲旋转表达。——lp
模长
一个双曲复数z=a+bj的模为.