一般的，双曲线（希腊语“Υπερβολία”，字面意思是“超过”或“超出”）是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。

在数学中，双曲线（多重双曲线或双曲线）是位于平面中的一种平滑曲线，由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。双曲线有两片，称为连接的组件或分支，它们是彼此的镜像，类似于两个无限弓。

双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。（其他圆锥部分是抛物线和椭圆，圆是椭圆的特殊情况）如果平面与双锥的两半相交，但不通过锥体的顶点，则圆锥曲线是双曲线。

双曲线出现在许多方面：

作为在笛卡尔平面中表示函数的曲线；作为日后的阴影的路径；作为开放轨道（与闭合的椭圆轨道不同）的形状，例如在行星的重力辅助摆动期间航天器的轨道，或更一般地，超过最近行星的逃逸速度的任何航天器；作为一个单一的彗星（一个旅行太快无法回到太阳系）的路径；作为亚原子粒子的散射轨迹（以排斥而不是吸引力作用，但原理是相同的）；在无线电导航中，当距离到两点之间的距离而不是距离本身可以确定时，等等。

双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直（较低曲率）的两个臂。对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近线。所以有两个渐近线，其交点位于双曲线的对称中心，这可以被认为是每个分支反射以形成另一个分支的镜像点。在曲线的情况下，渐近线是两个坐标轴。

双曲线共享许多椭圆的分析属性，如偏心度，焦点和方向图。许多其他数学物体的起源于双曲线，例如双曲抛物面（鞍形表面），双曲面（“垃圾桶”），双曲线几何（Lobachevsky的着名的非欧几里德几何），双曲线函数（sinh，cosh，tanh等）和陀螺仪矢量空间（提出用于相对论和量子力学的几何，不是欧几里得）。

我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于一个常数（常数为2a，小于|F1F2|）的轨迹称为双曲线;平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做双曲线。

即：||PF1|-|PF2||=2a

定义1：

平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。

定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率；定点不在定直线上）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。

定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。

定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0满足以下条件时，其图像为双曲线。

1、系数矩阵满秩，即

2、Δ=B2-AC>0

在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：.Ax2+Cy2+F=0

上述的四个定义是等价的，并且根据负号的前后位置判断图像关于x，y轴对称。

1、焦点在x轴上时为：

（a>0，b>0）

2、焦点在y轴上时为：

（a>0，b>0）

其中：||PF1|-|PF2||=2a，b2=c2-a2，|F1F2|=2c。

可以从图像中看出，双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时，为左支与右支；当焦点在y轴上时，为上支与下支。

在定义1中提到的两个定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点，焦点的横（纵）坐标满足c2=a2+b2。

在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线。

双曲线的准线的方程是： （焦点在x轴）或 （焦点在y轴）

在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。

离心率

双曲线有两个焦点，两条准线。（注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线，但是给定同侧的一个焦点，一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，并且两支关于虚轴对称。所以在两侧的焦点，准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。）

双曲线和它的焦点连线所在直线有两个交点，它们叫做双曲线的顶点。

两顶点之间的线段称为双曲线的实轴，实轴长的一半称为半实轴。

在标准方程中令x=0，得y2=-b2，该方程无实根，为便于作图，在y轴上画出B1（0，b）和B2（0，-b），以B1B2为虚轴。

双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。

渐近线的方程求法是：将标准方程的右边的常数改为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解。

以焦点在x轴上的双曲线为例，将方程改为，移项之后两边开平方得，这就是焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程。

同理可知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为。

焦点在x轴上的双曲线的参数方程为，其中参数t的范围是[0,2π)且

以双曲线的右焦点为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，则双曲线的极坐标方程为。其中e是双曲线的离心率，e>1；叫做双曲线的焦准距，即焦点到对应准线的距离。

注意极角θ的取值，因双曲线的e>1，会出现分母为0的情况。解1-ecosθ=0，得cosθ=1/e=a/c，在[0,2π)上存在两个点使得等式成立。事实上这两个角恰好就是两条渐近线的倾斜角。

若以左焦点为极点，仍然以x轴正方向为极轴建立极坐标系，则双曲线的极坐标方程为。

连接焦点与双曲线上任意一点所得的线段叫做双曲线的焦半径，一般用r1、r2来表示左焦半径与右焦半径。

焦半径公式可由距离公式或圆锥曲线的第二定义推出。

双曲线上一点（不包括两顶点）与两顶点连线的斜率之积为定值。有的参考书上把这条性质看作双曲线的第三定义，即平面内一点与两定点的连线的斜率之积为定值（该定值>0）时，P的轨迹为双曲线（但不包括两定点）。

双曲线在实际中的应用有通风塔，冷却塔，埃菲尔铁塔，广州塔等。

由于双曲线在高考的小题中经常出现，并且经常结合渐近线出题，这里列举几个常见的双曲线几何性质，尤其是关于渐近线的性质，便于小题中能快速使用这些性质来解题。

（1）设双曲线的右准线和一条渐近线交于P，A是右支的端点，F是右焦点，那么OP=OA，OP⊥PF。左边同理。根据这个性质，过焦点作渐近线的垂线，垂足一定在准线上，并且Rt△OPF的三边恰好为a、b、c。

证明：右准线的方程为 ，设它和渐近线 交于 ，于是利用两点之间的距离公式，OP=a=OA。

同时由斜率的定义得到 ，所以 。连接PF，在△OPF中使用余弦定理可得PF=b，∠OPF=90°。即Rt△OPF的三边恰好为a、b、c。

（2）过双曲线上任意一点P作某条渐近线的平行线，交准线于Q，则PQ=PF。

证明：以右焦点和右准线为例，过P作PM⊥准线于M，根据双曲线的第二定义，

所以PF=PM*e

又根据已知条件，PQ与PM的夹角（或其补角）恰好为渐近线的倾斜角，于是 ，所以 。

根据三角函数的定义，

（3）过双曲线上一点P作x（y）轴的平行线，交渐近线于A、B，则PA*PB=a2（b2）。

证明：以作x轴的平行线为例。设P(x0,y0)，平行于x轴的直线为y=y0，交渐近线于 。于是：

（4）过双曲线上一点P作两条渐近线的垂线PM、PN，则

证明：根据平面几何知识可知∠MON和∠MPN互补，因此cos∠MPN=-cos∠MON

而根据双曲线的对称性，x轴平分∠MON，利用三角函数的万能公式，

因此

又设P(x0,y0)，利用点到直线的距离公式，

所以

注意P点在双曲线上，有 ，代入上式得到最终结果。

（5）设一条直线与双曲线交于A、B两点（可以同支或不同支），交两条渐近线于C、D两点，则AC=BD。特别地，若直线是双曲线的切线，切点为P，那么有PC=PD。

证明：利用平面几何。

①当直线垂直于x轴时，根据对称性立刻得到结论。

②当直线不垂直于x轴时，过A、B分别作x轴的垂线，两条垂线交两渐近线于M、N、R、S四点。

得到两组相似三角形△ACM∽△BCR和△ADN∽△BDS

于是有

将两个等式相乘，得

又根据性质3，AM*AN=BR*BS=b2，所以有AC*AD=BC*BD

AC*(AB+BD)=BD*(AB+AC)

化简得AC=BD

当CD是切线时，AB重合为一点P，此时有PC=PD，即：双曲线的一条切线交两条渐近线于两点，则切点到这两点的距离相等。

（6）双曲线的一条切线交渐近线于A、B两点，则：

① 为定值；

②OA*OB为定值。

上述定值均与切点位置无关。

证明：显然，所有平行于x轴的直线都和双曲线有两个交点，因此它们都不会是切线，即双曲线的切线必定与x轴不平行。

所以设切线方程为x=my+n，联立双曲线方程，消去x，得

切线和双曲线只有一个交点，判别式为0，因此

化简得n2=a2-b2m2

从该式子可看出a2>b2m2（因为n一定不会是0，如果n=0则b2m2=a2，使得上述方程的二次项为0，于是得到矛盾方程a2b2=0），因此a±bm≠0。

联立切线和两条渐近线方程，可解得

设切线和x轴交于N(n,0)，则

为定值，与切点所处位置无关。

要计算OA*OB，直接套距离公式非常麻烦，可利用向量的方法。

因为 ，且 （证明见性质4），所以

为定值，与切点所处位置无关。

（7）过双曲线上任意一点P作两渐近线的平行线，分别交于A、B两点，则平行四边形OAPB的面积为定值（与P的位置无关）。

设P(x0,y0)，那么PA和PB的方程可写为和，于是可以分别求出

利用平行四边形的面积公式，

该性质也可以看作性质（5）（6）的推论，这是因为假设过P的切线交渐近线于M、N两点，由性质（5）可知P是MN的中点。于是由三角形中位线定理，A、B分别是OM、ON中点。那么S△OAP=1/2*S△OMP，S△OBP=1/2*S△ONP。因此S△OAP+S△OBP=1/2*(S△OMP+S△ONP)，即S平行四边形OAPB=1/2*S△OMN。根据性质（6）可知S平行四边形OAPB=1/2*ab是定值。

因为圆锥曲线涉及切线问题的几乎只有焦点在y轴上的抛物线，双曲线不会考，但作为补充仍给出下列性质。

（8）双曲线 上任意一点 的切线方程为 （注：利用隐函数的求导法则求出斜率后，根据点斜式写出切线方程）

（9）设双曲线在P点的切线与准线交点为Q，那么∠PFQ=90°。焦点弦两端的切线相交于准线上。

（10）设PF1和PF2是两条焦半径，那么P点的切线平分∠F1PF2。反过来，若已知某直线平分焦半径PF1与PF2的夹角，那么该直线与双曲线切于P。这个性质又被称作双曲线的光学性质，即从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光的反向延长线经过另一个焦点。

（11）若椭圆和双曲线的焦点相同，在椭圆与双曲线的交点处分别作椭圆与双曲线的切线，那么这两条切线垂直。

设双曲线两条互相垂直的切线交于P，则P的轨迹是一个圆（去掉与渐近线的4个交点）。

设交点P(x0,y0)，因为双曲线的切线不可能与x轴平行，所以另一条切线不可能与y轴平行，即两条切线都有斜率。

设切线方程为y=k(x-x0)+y0，联立双曲线，消去y得

因为直线和双曲线相切，判别式为0，得

整理得

两条切线互相垂直，斜率之积为-1，根据韦达定理，有

整理得 。

但是，注意到一开始联立切线与双曲线的方程中，二次项系数不能为0，即 。把这个关系代入关于k的一元二次方程中，得到 。因此，P的轨迹是去掉与渐近线的4个交点的圆 ，这个圆叫做蒙日圆，又叫做外准圆。

注意：只有当a>b时方程x2+y2=a2-b2才表示一个圆，此时双曲线的离心率 。

上面介绍了外准圆（蒙日圆）的概念，现在来研究内准圆的概念。

设AB是双曲线的一条弦（A和B可以在同支或不同支），弦对中心O的张角∠AOB=90°，则无论AB的位置如何，O到直线AB的距离都是一个常数。以该常数为半径，中心O为圆心的圆叫做双曲线的内准圆。

为了证明O到AB的距离是常数，先证明一个引理。

引理：若A、B在双曲线 上并且OA⊥OB，那么 是常数（与A、B位置无关）。

以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则根据极坐标与直角坐标的转换关系，双曲线上任意一点(ρ,θ)均满足 。

由于OA⊥OB，不妨设A(ρ1,θ)，B(ρ2,θ+90°)，代入上述方程中，得

第二个等式是利用了三角函数的诱导公式cos(θ+90°)=-sinθ和sin(θ+90°)=cosθ。

又根据极坐标的定义， 为定值。

有了引理之后，利用面积法可以证明O到AB的距离是定值。

设O到AB距离是d，根据三角形的面积公式，有 。

两边平方，得 。

所以 是定值。

内准圆的方程为 。

注意：同外准圆相反，拥有内准圆的条件是，所以双曲线内外准圆只能有其中一个。特别地，等轴双曲线（又叫直角双曲线，满足a=b）既没有内准圆也没有外准圆。

这个性质可以简单记忆如下：双曲线内准圆的任意一条切线被双曲线截得的弦，对中心O的张角为直角。

设P为双曲线上一点，F1、F2为两个焦点，△PF1F2叫做焦点三角形。若∠F1PF2=θ，

则S△F1PF2= 。

推导：

不妨设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c。由余弦定理，

而根据双曲线的定义，|m-n|=2a，两边平方，整理得m2+n2=2mn+(2a)2

代入余弦定理的表达式：

所以得到

所以

此外，若设P(x0,y0)，则△PF1F2可以看做底是2c，高是|y0|的三角形，那么

所以如果知道了点P的坐标或∠F1PF2的其中一个，那就可以求另一个。

若从几何角度研究这个结论：，如图所示，过P作双曲线的切线，交右准线于Z。

则由几何性质（8）和（9）可知PZ是角平分线，且有∠PSZ=90°

而PM⊥MZ，即∠PMZ=90°，所以PMZS四点共圆

所以有∠XMS=∠SPZ=θ/2

而XS是焦准距，，根据三角函数的定义，，即

例：已知F1、F2为双曲线C：x2－y2=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多

少？

解：由双曲线焦点三角形面积公式得：

S△F1PF2=b2×cot（θ/2）=

设P到x轴的距离为h，则S△F1PF2=；h=

│x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）。

关于坐标轴和原点对称，其中关于原点成中心对称。

A（-a，0），A'（a，0）。同时AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a。

B（0，-b），B'（0，b）。同时BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b。

F1（-c，0）或（0，-c），F2（c，0）或（0，c）。F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c

对实轴、虚轴、焦点有：a2+b2=c2

焦点在x轴：

焦点在y轴：

第一定义：e=c/a且e∈（1，+∞）

第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│与点P到定直线（相应准线）的距离d的比等于双曲线的离心率e。

d点│PF│/d线（点P到定直线（相应准线）的距离）=e

（圆锥曲线上任意一点P（x，y）到焦点距离）

左焦半径：r=│ex+a│

右焦半径：r=│ex-a│

一双曲线的实轴与虚轴长相等即：2a=2b且e=√2

这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴）

双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴且双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。

几何表达：S：（x2/a2）-（y2/b2）=1，S'：（y2/b2）-（x2/a2）=1

特点：

（1）共渐近线，与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交点；

（2）焦距相等；

（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1。

焦点在x轴上：x=±a2/c

焦点在y轴上：y=±a2/c

X2/a2-Y2/b2=1（a>0，b>0）

而反比例函数的标准型是xy=c（c≠0）

但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的

因为xy=c的对称轴是y=x，y=-x而X2/a2-Y2/b2=1的对称轴是x轴，y轴

所以应该旋转45°

设旋转的角度为a（a≠0，顺时针）

（a为双曲线渐进线的倾斜角）

则有：

X=xcosa+ysina

Y=-xsina+ycosa

取a=π/4

则：

X2-Y2=（xcos（π/4）+ysin（π/4））2-（xsin（π/4）-ycos（π/4））2

=（√2/2x+√2/2y）2-（√2/2x-√2/2y）2

=4（√2/2x）（√2/2y）

=2xy

而xy=c

所以：

X2/（2c）-Y2/（2c）=1（c>0）

Y2/（-2c）-X2/（-2c）=1（c

由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式。

双曲线内、上、外

在双曲线的两侧的区域称为双曲线内，则有x2/a2-y2/b2>1；

在双曲线的线上称为双曲线上，则有x2/a2-y2/b2=1；在双曲线所夹的区域称为双曲线外，则有x2/a2-y2/b2。

从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用。