1983年中央电视台举办的春节晚会上,提出了一个有趣的谜语:镜子里照人(打一字)。
定义
设函数的定义域为,值域为,,中有且只有一个值, 使得。若将当作自变量,当作因变量,得到,称为函数的反函数,而叫做直接函数。反函数的定义域为,值域为。此时,当然也是的反函数,即和互为反函数;前者的定义域和后者的值域相同,前者的值域和后者的定义域相同。
注(1):由于在习惯上用x表示自变量,y表示因变量,故将中的x与y进行对换,的反函数就变成。这里与是表示同一函数的,因为表示函数对应法则的字母“”没有改变,仅自变量与因变量的字母变了。
注(2):与反函数表示同一图形,而与反函数的图形对称于直线。这是因为,如果设是的图像上任意一点,即。根据反函数的定义,有,即点在反函数的图像上。而点和关于直线对称,由的任意性可知和关于对称。
于是我们可以知道,如果两个函数的图像关于对称,那么这两个函数互为反函数。这也可以看作是反函数的一个几何定义。
注(3):反函数与原函数的复合函数等于,即:
若一个函数有反函数,此函数便称为可逆的(invertible)。
发展简史
函数概念的提出
“
函数”这个词用作数学的术语,最早是德国的数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz)提出的。17世纪末,在他的文章中,首先使用了“function”一词,翻译成汉语的意思就是“函数”。它指的是关于曲线上某点的一些线段的长,如“横坐标”“纵坐标”“弦”“切线”“法线”等概念。18世纪,法国数学家让·勒朗·达朗贝尔在进行研究中,给函数重新下了一个定义,认为所谓变量的函数,就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式,即用解析式表达函数关系。1837年,德国数学家约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷(Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet)进一步给出函数的定义为:对于在某区间上的每一个确定的值,都有一个或多个确定的值,那么叫做的函数。
反函数概念的提出
反函数的概念最早可以追溯到17世纪的欧洲数学家阿德利昂·玛利·埃·勒让德(Adrien-Marie Legendre),他首先提出了函数的反函数的概念,并通过对称图形来描述反函数和原函数之间的关系。同一时期,英国物理学家、数学家艾萨克·牛顿(Isaac Newton)和德国的数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨独立地发现了微积分学,并在此基础上做出了对反函数的重要贡献。艾萨克·牛顿将反函数的研究与微积分相结合,提出了一种求解反函数的方法,即牛顿法。戈特弗里德·威廉·莱布尼茨则通过引入导数和微分的概念,对反函数进行了更加系统和深入的研究。19世纪,高斯对反函数的研究进行了推进。他提出了一个重要的定理,即反函数存在的充分必要条件是原函数为单调函数,这个定理为反函数存在性定理,为后来对反函数的研究奠定了基础,也为函数论的发展做出了重要贡献。
存在性
概述
对于任意一个函数来说,不一定有反函数。只有在函数的定义域与值域之间建立了一一映射关系的前提下,函数才存在反函数[1]。即:
注意:一一映射的函数,其反函数是单值函数。如一次函数、指数函数、对数函数等等。不是一一映射的函数,其反函数则具有多值性如正弦函数对于的一个从-1到1中的确定值,有无数个确定值与它对应,如时,有无数值:(是任何整数)和对应。为了避免多值函数,我们现定反三角函数的主值。例如,把反正弦函数的主值记为:,它的定义域是[-1,1],值域即主值区间是。这样就限制了与之间满足一一映射的关系。
若为一实变函数,则若有一明确反函数,它必通过水平线测试,即一放在图上的水平线必对所有实数,通过且只通过一次。
反函数存在定理
定理:设函数在某区间内严格单调增加(或减少),又设与这个相对应的值域是,那么在内必存在反函数,它在内也是严格单调增加(或减少)。
证明:设函数在某区间内严格单调增加,则根据增函数的定义,较大的自变量对应于较大的函数值,即对内的任意两个值和,如果,必有。
若给定内的一个值,显然在内一定有一个值和它对应,使得。又因为是增函数,在内绝不会有两个不同的值和,使得。因此。对于内的每一个值,在内有一个且只有一个值和它对应起来。这就证明了反函数存在。
现在再来证明是内的严格单调增加的函数,设,是内的任意两点,且,又设,,于是对于这两个值和,只有下面三种可能性:
(i)如果,则根据函数单调增加,必有,这违反了原来的假定;
(ii) ,这种情况也不可能,因为这样就有,也违反了原来的假定;
(iii) 。因此,只有第(iii)中情形是可能的,这就证明了是内的严格单调增加的函数。
减函数情形的证明,与此相类似,证毕。
性质
(1)函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射;
(2)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;
(3)大部分偶函数不存在反函数(当函数, 定义域是且 (其中是常数),则函数是偶函数且有反函数,其反函数的定义域是,值域为)。奇函数不一定存在反函数,被与轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。
(4)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性;
(5)严增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数;
(6)反函数是相互的且具有唯一性;
(7)定义域、值域相反,对应法则互逆(三反);
(8)反函数的导数关系:如果在开区间上严格单调,可导,且,那么它的反函数在区间也可导,且:
(9)的反函数是它本身。
(10)图像交点的性质:同一坐标系内,函数与它的反函数的图像的交点,或者在直线上,或者关于直线对称地成对出现。若函数是单调增函数,那么与它的反函数的图像的交点必定在直线上。
符号
反函数的符号记为,在中国的教材里,反三角函数记为等等,但是在欧美一些国家,的反函数记为。
表示,那么与这是否有些关系呢?当然,肯定和不等,但是确实有与之很相近的性质。
反函数的运算
反函数的反函数
为了好看以及对比,我们有时会把直接写成,应该很好理解,反函数的反函数当然就是原函数,写成数学语言就是。
反函数的导函数
定理(反函数求导定理):若函数在上连续、严格单调、可导,并且,记,则它的反函数在上可导且有
用自然语言来说就是,反函数的导数,等于直接函数导数的倒数。
在这里要说明的是,的反函数应该是。只不过在通常的情况下,我们将写作,写作,以符合习惯。所以,虽然反函数和直接函数不互为倒数,但是各自导函数求出后,二者却是互为倒数。
反函数的复合函数
函数里面最简单最基本的函数是恒等函数,这就和我们数字里面的“1”一般地位,所以,我们记恒等函数为“”。数字的基本运算就是加减乘除,而函数也有运算,虽然也有加减乘除,但是属于函数自己的,就是复合与反函数。
一般的,如果变量y是变量u的函数,;变量u又是变量x的函数,,且对于函数u定义域中每一个值x所对应的u的值都属于函数y的定义域,那么消去u后就有。我们把这个函数叫做由函数和复合而成的复合函数,称为中间变量。简单的说,所谓复合函数就是“函数的函数”。
我们知道在实数里,与的乘积等于1,在函数的复合运算里,也有类似的性质,函数和的复合记为,那么下面的性质成立:;。
反函数求积分
(1)积分的概念
如果在给定的区间里,是函数的导数,或是的微分,即或。那么,在给定区间上,叫做函数的原函数,或的积分。求一个函数的原函数,称为求积分,用式子表示。
(2)方法
设是单调连续函数,是其反函数,且,求。
解:因为是单调连续函数的反函数,所以,由分部积分法,并注意到的一个原函数为,可得
反函数的泰勒展开公式
(1)泰勒定理
设是定义在区间内的函数,是正整数,在区间内存在,,则对于任意的,有的多项式展开式:
该式即泰勒展开式,式中,,其中为、的介值:。
(2)反函数的泰勒展开公式
设函数在区间上存在反函数,且,于是在上可对其反函数进行k阶泰勒展开:
说明
(1)在函数中,是自变量,是因变量,但习惯上,我们一般用表示自变量,用表示因变量,为此我们常常对调函数中的字母、,把它改写成。
(2)反函数也是函数,因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知,对于任意一个函数来说,不一定有反函数,若函数有反函数,那么函数的反函数就是,这就是说,函数与互为反函数。
(3)互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。单调函数一定有反函数,如二次函数在内不是反函数,但在其单调增(减)的定义域内,可以求反函数;另外,反比例函数等函数不单调,也可求反函数。
(4)从映射的定义可知,函数是定义域到值域的映射,而它的反函数是集合到集合的映射,因此,函数的定义域正好是它的反函数的值域;函数的值域正好是它的反函数的定义域(如下表):
(5)上述定义用“逆”映射概念可叙述为:
若确定函数的映射是函数的定义域到值域上的“一一映射”,那么由的“逆”映射所确定的函数就叫做函数的反函数。反函数的定义域、值域分别对应原函数的值域、定义域。例如记为,则它的反函数为:。
有时是反函数需要进行分类讨论,如:,需将进行分类讨论:在大于0时的情况,小于0的情况,多是要注意的。
一般分数函数(其中)的反函数可以表示为,这可以通过简单的四则运算来证明。
应用
反函数在数学、物理、经济等领域都有广泛的应用。
数学领域
反函数是微积分有力的计算工具,运用反函数可以计算出一些函数的导数和积分。在一元函数微分学中,反函数求导法则用来求解一些函数的导数。在不定积分的计算中,常用的方法有直接积分法、换元积分法和分部积分法;若利用反函数的积分来计算同样可以求出一些函数的不定积分。根据定积分的可积条件与分步积分法推出一种利用反函数求定积分的简便方法。
物理领域
在物理学中,反函数被用于描述物理量之间的关系,速度、时间和距离,加速度和力等。例如物体运动的速度、时间和距离之间的函数关系为:,若记为,则它的反函数就可以写为。
经济领域
在经济学中,反函数被用于描述需求和供给之间的关系,以及价格和数量之间的关系。例如,商品的价格与它的市场需求量之间的函数关系为,那么它的反函数为,它反映的是产品的需求量与价格之间的关系。