反证法，亦称“逆证”，是间接论证的方法之一，是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。

反证法常称作Reductio ad absurdum，是拉丁语中的“转化为不可能”，源自希腊语中的“ἡ εις το αδυνατον παγωγη”，阿基米德经常使用它。

反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，经过推理导出矛盾，从而证明原命题。法国数学家阿达玛（Hadamard）对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难，情况多或复杂，而命题的否定则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。

反证法的证题可以简要的概括为“否定得出矛盾→否定”。即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。应用反证法的是：

欲证“若P，则Q”为真命题，从相反结论出发，得出与事实、定理、已知条件、基本事实等矛盾，从而原命题为真命题。

反证法是间接论证的方法之一，是通过断定与论题相矛盾的判断的虚假来确立论题的真实性的论证方法。从反面出发考虑问题是解题策略的重要组成部分，也是学习数学必须具备的逻辑思维能力之一。

反证法的逻辑原理是逆否命题和原命题的真假性相同。

实际的操作过程还用到了另一个原理，即：

原命题和原命题的否定是对立的存在：原命题为真，则原命题的否定为假；原命题为假，则原命题的否定为真。

若原命题： 为真

先对原命题的结论进行否定，即写出原命题的否定：p且¬q。

从结论的反面出发，推出矛盾，即命题：¬q且p为假（即存在矛盾）。

从而原命题的逆否为真。

再利用原命题和逆否命题的真假性一致，即原命题：p⇒q为真。

误区：

否命题与命题的否定是两个不同的概念。

命题的否定只针对原命题的结论进行否定。而否命题同时否定条件和结论：

原命题：p⇒q；

否命题：¬p⇒¬q；

逆否命题：¬q⇒¬p；

命题的否定：p且¬q。

原命题与否命题的真假性没有必然联系，但原命题和原命题的否定却是对立的存在，一个为真另一个必然为假。

反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假”的结论，这个结论可以用穷举法证明：

已知某命题：若A，则B，则此命题有4种情况：

1.当A为真，B为真，则A⇒B为真，得¬B⇒¬A为真；

2.当A为真，B为假，则A⇒B为假，得¬B⇒¬A为假；

3.当A为假，B为真，则A⇒B为真，得¬B⇒¬A为真；

4.当A为假，B为假，则A⇒B为真，得¬B⇒¬A为真；

∴一个命题与其逆否命题同真假。

即反证法是正确的。

假设¬B，推出¬A，就说明逆否命题是真的,那么原命题也是真的。

但实际推证的过程中，推出¬A是相当困难的，所以就转化为了推出与¬A相同效果的内容即可。这个相同效果就是与A（已知条件）矛盾，或是与已知定义、定理、大家都知道的事实等矛盾。

注：关于相等与不等关系（＞、=、＜），我们有如下的否定形式：

大于反义：小于或等于

都大于 反义：至少有一个不大于

小于 反义：大于或等于

都小于 反义：至少有一个不小于它的逆否命题“若¬B，则¬A”。

只能用反证法证明的命题，有以下几类：

2. 很多已知当中只有两个元的问题。

由于条件有限，基本上也只能采用反证法。这类问题通常是一个公理体系里只有A、B两项，由已知命题推未知命题的真假。

3. 对许多直接建立在定义和公理之上的一级定理：

由于这些定理可使用的证明条件太少，只能用反证法才能证明。而建立在定义、公理与一级定理之上的二级定理，以及在逻辑链中更靠后的三级定理、四级定理等等，由于已被证明的定理数目越来越多，因此对于逻辑链中更靠后的定理，有更多的证明条件可以使用，常常不必使用反证法就可以得证。而公理本身是不证自明的，它们是数学逻辑体系的起点（基石），这已经是数学知识的底线了。如果你不接受它们，你认同的所有数学命题都不成立。

4.证明一个集合有无穷多个元素：

① 用反证法。即证明如果它是有限的，则会存在矛盾；

② 与另外一个无穷集合建立映射，这时加进来的已知无穷集合作为引理出现。

证明质数有无穷多个，欧几里得的证明就是反证法。

再如，证明不存在最大的自然数。如果从正面去证明的话，相当于列举自然数，然而我们在有限的步骤中完成，因此直接证法行不通。于是，利用排中律转化为：对于所有自然数n，存在一个自然数m，使得m＞n。这几乎是显然的。

总之，只要承认证明过程中只能在有限的步骤中完成，那么关于无穷的问题，我们也只能利用排中律转化为有穷来证明。

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。 在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。

反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。

运用反证法证明命题的第一步是：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。在这一步骤中，必须注意正确的反设，这是正确运用反证法的基础、前提，正确作出反设，是使用反证法的一大关键否则，如果错误地“否定结论”，即使推理、论证再好也都会前功尽弃。要想正确的做出反设，必须注意以下几点：

（1）分清命题的条件与结论,结论与反设间的逻辑关系。

（2）结论的反面常常不止一种情形，则需反设后，分别就各种情况归谬，做到无一遗漏。

总之，在否定命题的结论之前，首先要弄清命题的结论是什么，当命题的结论的反面非常明显并且只有一种情形时是比较容易做出否定的，但命题的结论的反面是多种情形或者比较隐晦时，就不太容易做出否定。这时必须认真分析、仔细推敲，在提出“假设”后，再回过头来看看“假设”的对立面是否恰是命题的结论。

证明：素数有无数个。

这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德（Euclid Alexandra，生活在亚历山大城，约前330～约前275，是古希腊最享有盛名的数学家）在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法：

假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是

此时，令, 那么所有的 显然都不是N的因子，那么有两个可能：或者N有另外的素数真因子，或者N本身就是一个素数，但是显然有N＞ .无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无数个素数！

证明： 是无理数。

假设命题不真，则 为有理数，设 ，即最简分数的形式。

则 ，

所以 为偶数，则 为偶数，可表示为

则

所以

则 也为偶数

所以 和 有公因数2，与 为最简分数矛盾

所以 为无理数

这个证明简短而又有力，充分体现了证明者的智慧，也体现出数学的概括性和美丽。