拓扑空间是
欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一个点赋予一种确定的邻域结构便构成一个拓扑空间。拓扑空间是一种抽象空间，这种抽象空间最早由法国数学家
弗雷歇于1906年开始研究。1913年他考虑用邻域定义空间，1914年德国数学家豪斯多夫给出正式定义。
可剖分空间(Ctriangulated space)亦称弯曲多面体。是一类
拓扑空间。为了使
复形的研究结果适用于更广范围的拓扑空间，如球面、环面等，可做如下推广：设X是拓扑空间，若存在单纯复形K与同胚映射f：|K|→X，则称X为可剖分空间，(K，f)或K称为X的一个剖分或单纯剖分。为了和多面体|K|加以区别，X称为弯曲多面体，K中单形的同胚像称为弯曲单形，全体弯曲单形的集合称为弯曲复形。
拓扑空间是
欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一个点赋予一种确定的邻域结构便构成一个拓扑空间。拓扑空间是一种抽象空间，这种抽象空间最早由法国数学家
弗雷歇于1906年开始研究。1913年他考虑用邻域定义空间，1914年德国数学家豪斯多夫给出正式定义。
豪斯多夫把拓扑空间定义为一个集合，并使用了“邻域”概念，根据这一概念建立了抽象空间的完整理论，后人称他建立的这种拓扑空间为
豪斯多夫空间(即现在的T2拓扑空间)。同时期的匈牙利数学家里斯还从导集出发定义了拓扑空间。20世纪20年代，原苏联莫斯科学派的数学家П.С.亚里山德罗夫与乌雷松等人对紧与列紧空间理论进行了系统研究，并在距离化问题上有重要贡献。1930年该学派的吉洪诺夫证明了紧空间的积空间的紧性，他还引进了拓扑空间的无穷乘积(吉洪诺夫乘积)和完全正规空间(
吉洪诺夫空间)的概念。
20世纪30年代后，法国数学家又在拓扑空间方面做出新贡献。1937年
布尔巴基学派的主要成员H.
嘉当引入“滤子”、“超滤”等重要概念，使得“收敛”的更本质的属性显示出来。韦伊提出一致性结构的概念，推广了距离空间，还于1940年出版了《拓扑群的积分及其应用》一书。1944年迪厄多内引进双紧致空间，提出仿紧空间是紧空间的一种推广。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的学生们进行了完整的研究。布尔巴基学派的《一般拓扑学》亦对拓扑空间理论进行了补充和总结。
此外，美国数学家斯通研究了剖分空间的可度量性，1948年证明了度量空间是仿紧的等结果。捷克数学家切赫建立起紧致空间的包络理论，为一般拓扑学提供了有力工具。他的著作《拓扑空间论》于1960年出版。近几十年来拓扑空间理论仍在继续发展，不断取得新的成果。
一般拓扑学的基本研究对象。确定了拓扑T的集合X称为拓扑空间，记为(X，T)。具有拓扑结构的抽象空间是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)于1906年和
里斯(Riesz，F.(F.))于1907年首先引进的.弗雷歇用收敛序列，里斯用聚点分别定义了他们的空间。但里斯的定义过于一般且比较复杂，弗雷歇的定义过于狭窄.第一个令人满意的拓扑空间的定义是豪斯多夫(Hausdorff，F.)于1914年用邻域系提出的。他的定义发展了希尔伯特(Hilbert，D.)于1902年和外尔(Weyl，(C.H.)H.)于1913年的思想。希尔伯特和外尔用邻域分别给出平面和黎曼曲面的一种公理描述。而豪斯多夫将他们引进的概念给出适当的一般化，并发展成有系统且详尽的一般理论，从而奠定了一般拓扑学这一学科。稍后，穆尔(Moore，R.L.)于1916年用开集系，库拉托夫斯基(Kuratowski，K.)于1922年用闭包算子分别提出另一种公理系统，它们都是等价的。还可用闭集系、内部算子、收敛类等各种不同公理系统刻画拓扑空间。目前较常用的是开集系、邻域系或闭包算子等公理系统建立拓扑空间。
称为以a0，a1，…，aq为顶点的q维单纯形，简称q维单形，记为sq=(a0，a1，a2，…，aq)，有序数组(λ0，λ1，…，λq)称为点x在q维单形中的重心坐标，记为x=(λ0，λ1，…，λq)。设=(a0，a1，…，aq)是q维单形，重心坐标为：
的点s称为单形的重心。1维单形的
重心是线段的中点，2维单形的重心是三角形的三条中线的交点。若单形sq=(a0，a1，…，aq)R，{i0，i1，…，ir}{0，1，2，…，q}，则ai0，ai1，…，air是几何无关点组。从而R中有r维单形，sq=(ai0，ai1，ai2，…，air)，sr称为单形sq的一个r维面，记为sr≤sq。当r
同胚
同胚是拓扑空间之间的一种变换。若f是拓扑空间(X，T)到(Y，U)的单满映射，并且f与f都是连续的，则称f为同胚映射或拓扑变换。存在同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的或拓扑等价的。同胚关系是等价关系。抽象空间的同胚是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)于1910年开始研究的。在狭窄的意义下同胚的概念早已被
庞加莱(Poincaré，(J.-)H.)引入。
设E与F为两个拓扑空间。称从E到F上的双射为从E到F上的同胚，如果这一映射能建立一个从E之全体开集的集合到F之全体开集的集合上的双射。
为使从E到F上的双射是同胚，其
充分必要条件是： 这个双射是双连续的。
剖分
设I为R的区间。称I的任一有限子集S为I的剖分。当S非空时，存在I的唯一的严格递增的点列(c0，c1，…，cn)，使S是由点c0，c1，…，cn构成的。经常将S与(c0，c1，…，cn)等同起来。
在I为紧区间[a，b]，c0=a，而cn=b的情形下，称数ci+1-ci中的最大者为S的步长，其中i取遍[0，n-1]。