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可微映射

数学术语

设D是Rn中的一个区域，f：D→Rn是以D为定义域的映射，如果f在D上的每一点处可微，则称f为D上的可微映射。

连续映射

设D是中的一个区域，称映射为（n元m值）向量值函数。显然，对应于m个n元函数：

因此，常把映射用分量表示为。当m=1时，就是n元函数。

定义设D是中的一个区域，是以D为定义域的映射，，如果

则称当时以为极限，记作。

当时，如果

则称映射在点连续；如果在D上的每一点处连续，则称为D上的连续映射或连续的向量值函数。

定理1 设是从上某区域D到的映射，

其中为常向量，则

(1) 的充要条件是；

(2) 在点连续的充要条件是m个n元函数均在点连续。

可微映射

设D是中的一个区域，是以D为定义域的映射，，如果对于自变量的增量，因变量的增量可以分解为

其中是一个阵，是m维空间中的向量，它的各分量均是比高阶的无穷小量，则称映射在点可微，其微分为

其中，，这里的称为映射的Jacobi矩阵，也称作映射在点的导数，常记作。

如果在D上的每一点处可微，则称为D上的可微映射。

定理2 设是从上某区域D到的映射，

其中，则映射在点可微的充要条件是诸在点均可微，当在点可微时，相应的Jacobi矩阵为

此时有

复合映射求导的链式法则

设，记；又设，记，考察定义于上的复合映射，它用分量表示就是，其中

定理3 如果均是可微映射，则

上式写成矩阵形式就是

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最新修订时间：2022-08-25 15:59

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概述

连续映射

可微映射

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