数学上，可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分黎曼可积黎曼积分勒贝格测度理论的基础上建立起来的，函数可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。

黎曼可积

设 是定义在区间 上的一个函数， 是一个确定的实数。若对任意的正数 ，总存在某一正数 ，使得对 的任何分割 ，以及在其上任意选择的点集 ，只要 ，就有 ，则称 在区间 上可积或黎曼可积。

勒贝格积分

定义勒贝格积分常用的方法：

对可测集 上的有界可测函数 ，找一串数 ，使 ， ， ，任取 ，讨论和式 ，当 时，极限是否存在。

黎曼积分与勒贝格积分

黎曼积分在应用领域取得了巨大的成功，但是黎曼积分的应用范围因为其定义的局限而受到限制。由于黎曼可积函数主要是连续函数或不连续点不太多的函数，使得黎曼积分在量子力学和概率论中的应用都遇到了瓶颈。仅从数学分析中的一些重要结果如积分与极限交换次序、重积分交换次序、牛顿一莱布尼茨公式等来看，黎曼积分要求的条件苛刻，对于一些问题的处理显得力不从心，但是在勒贝格积分的框架下，上述问题就会得到较为圆满的解决。另外为引入积分而得到的勒贝格测度概念还使数学分析中本来很难讲清楚的一些道理（如单调函数的可微性、黎曼可积的充要条件等）变得清晰。

勒贝格积分是在勒贝格测度理论的基础上建立起来的。这一积分可以统一处理函数有界与无界的情形，函数也可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理。因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛，特别对概率论与数理统计的深入学习有十分重要的意义。

（1）设 在区间 上连续，则 在 上可积。

（2）设 在区间 上有界，且只有有限个间断点，则 在 上可积。

（3）设 在区间 上单调有界，则 在 上可积。

定理：若函数 在 上可积，则 在 上必有界。

该定理指出，任何一个可积函数一定是有界的，但是需要注意的是，有界函数不一定可积，如狄利克雷函数在 上有界但是不可积。

设 为对 的任一分割。由 在 上有界，它在每个 上存在上、下确界，记为 ，设 ，称为 在 上的振幅。

定理1（可积准则）：函数 在 上可积的充分必要条件是对任意的 ，总存在相应的一个分割 ，使得 关于分割 的上和 和下和 满足 。

定理2：函数 在 上可积的充分必要条件是对任意的 ，总存在相应的一个分割 ，使得 。

函数乘积的可积性

设函数 在区间 上可积，那么乘积 也可积。

函数绝对值的可积性

如果函数 在区间 上可积，那么它的绝对值函数 也可积，并且满足：

积分值为正的条件

（1）设函数 在区间 上恒正、可积，那么 。

（2）设函数 在区间 上非负、可积，那么 在区间 的每个闭子区间上 都有零点。

复合函数的可积性

设函数 在区间 可积，m 和 M 是它的上界和下界（m

参考资料

最新修订时间：2022-09-23 18:05