否命题是数学中的一个概念。一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。对于两个命题，若其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题互为否命题。如果把其中一个称为原命题，那么另一个就叫做它的否命题。

命题的定义：可以判断正确或错误的句子叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题。但是原命题正确，它的逆命题未必正确。例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题。

互逆命题的定义：如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题。如把其中一个称为原命题，那么另一个称为它的逆命题。

两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题。

互否命题的定义：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，把这样的两个命题叫做互否命题。如果把其中一个称为原命题，那么另一个就叫做它的否命题。

四种命题具有形式：设p为原命题条件，q为原命题结论则：

（1）原命题：若p则q ；

（2）逆命题：若q则p ；

（3）否命题：若非p则非q；

（4）逆否命题：若非q则非p。

（1）否命题与原命题可同真同假， 也可一真一假。

（2）否命题与逆命题等价，若逆命题为真，则否命题为真；反之，若逆命题为假，则否命题为假。例如：

1）原命题为：若a=1，则 ，这是真命题；

逆命题：若 ，则a=1，这是一个真命题；

否命题：若 ，则 ，这是一个真命题。

2）原命题为：若a=0，则ab=0，这是真命题；

逆命题：若ab=0，则a=0，这是一个假命题；

否命题为：若 ，则 ，这是一个假命题。

（1）设“若p则q”为原命题，那么“若非p则非q”就叫做原命题的否命题；

（2）设“p”是一个命题，那么“非p”叫做命题p的否定，“非p”记作“ p”。

否命题是对原命题的条件与结论都作否定， 否命题与原命题可同真同假， 也可一真一假。而命题的否定是：

（ 1）在不考虑命题的条件与结论的情况下对整个命题作否定，此时只需在原命题前加“并非”即可。

（2）如果考虑命题的条件与结论，则仅仅对命题的结论作否定。任何一个命题与该命题的否

定必定是一真一假（常用这一点来验证写出来的命题的否定是否正确） ．

命题的否定中的关键词剖析

（1）一般命题中“都， ”对应于“不都，” ，而不是对应于“都不， ” ； “全，”对应于“不全，” ，而不是对应于“全不，” ，“，且， ”对应于“ ，或， ” ；“，或， ”对应于“ ，且， ” 。

（2）全称命题与存在性命题中，“任意， ” 对应于“有些， ”等； “存在，” 对应于“所有， ”等，“至少有一个” 对应于“一个都没有”等； “至多有一个” 对应于“至少有两个”等。

否命题的改写说明

原命题如果是“若p则q”或“如果 ，，那么，”的形式，则按照否命题的定义改写即可，原命题如果不是上面的形式，则先改写成上面的形式后，再去写它的否命题。

原命题、逆命题、否命题和逆否命题四种命题有如下关系。

四种命题的相互关系如下：

（1）原命题与逆命题互逆；

（2）否命题与原命题互否；

（3）原命题与逆否命题相互逆否；

（4）逆命题与否命题相互逆否；

（5）逆命题与逆否命题互否；

（6）逆否命题与否命题互逆。

四种命题的真假关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系(原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假）。