回弹系数（Rebound coefficient），物理学术语，大小取决于材料材质及其均匀性。要掌握回弹系数规律，必须实测一下实际回弹数，再确定其系数，这样既简便又明了。

回弹系数经常用于经验公式中来估算内压卸载后的凹陷深度，在没有估算外载荷卸载后凹陷深度公式的情况下。以长输管线上常见的 X52、X60、X70 钢制管道为工程背景，运用 ABAQUS 软件进行管道结构力学的非线性分析，模拟管道凹陷的形成及回弹过程。通过对比试验与数值模拟数据，验证有限元仿真方法的可靠性。分别在外载卸载及内压卸载的情况下分析了各参数(加载深度、压头尺寸、管道尺寸、操作压力、管材性能)对凹陷回弹系数的影响。运用 Matlab 软件对计算结果进行非线性回归分析，可得到回弹系数与各参数的关系表达式。

凹陷是由于管壁永久塑性变形而使管道横截面发生的总的变形，是管道的一种常见缺陷形式。管道凹陷严重威胁着管道的安全运行，降低管道的承压能力，有些凹陷会立即导致管道失效。凹陷准则大多是基本无内压时测得的凹陷特征数据，而管道检测通常是在受内压的情况进行。长输管道为高强度钢材料，其屈服强度高，故回弹现象更加明显。因此，了解凹陷的回弹过程并确定外载荷卸去后和内压波动下凹陷的回弹系数对凹陷评价具有一定的意义。

相当多的国外学者对管道凹陷回弹系数进行了研究。欧洲输气管道事故数据组织将单纯凹陷管道在内压卸载后的回弹系数定义为1.43。研究表明，这个经验回弹系数与实际情况存在较大的出入，偏于保守。美国 Battle 研究院考虑了内压对凹陷深度的影响，提出回弹系数的计算方法，然而与试验结果存在较大的出入。美国石油协会 API 579 标准给出了不同工况下的回弹系数，当操作压力大于等于70%最大许可压力时， 回弹系数为 1.43，否则回弹系数为1。Bastard AL考虑凹陷尺寸、管道尺寸、内压及管材性能，提出了回弹系数公式，但该公式较为复杂，采用的管道尺寸较小，对常用的管道凹陷适用性不足。国内对凹陷回弹方面的研究较少，对不同钢质、类型及深度等的凹陷回弹情况缺少进一步认识。

选择 ABAQUS 软件进行有限元模型的建立及仿真。有限元模型由刚性球形压头和管道组成，建立管道的1/4模型进行分析。为了将凹陷区域和管道端部的相互作用降到最低，取管道长度为管道直径的3倍，模型如图1《管道有限元模型示意图》所示。对凹陷区域处进行网格细化，对远离凹陷区域采用疏松网格，管道网格单元为 C3D8R(八节点六面体单元)。

内压载荷施加于管道的内表面，采用准静态的方法，将位移外载荷通过刚性压头施加在管道外表面。凹陷的形成及回弹的数值模拟步骤如下: (1)施加内压，在管道的内表面施加压力载荷；(2)压头加载，先使压头向下移动一个非常小的位移，使接触分析平稳地建立起来，然后使压头向下移动位移d，使管道形成一个初始凹陷；(3)压头卸载，使压头向上移动一个较大的位移，同时解除球面压头和管道之间的接触关系；(4)卸载内压。

（1）外载作用下的回弹影响因素分析

凹陷的回弹受管道尺寸、加载深度、压头形状、操作压力及管材性能等因素的影响。首先对不同管材的回弹系数进行分析。结果表明: 管材分别为X52、X60、X70 的凹陷管道的回弹系数逐渐减小，但差别不大，如当壁厚为 10. 3 mm 时，X52与X70的回弹系数分别为0.679和0.669，平均误差为1.49%。

①加载深度对凹陷的回弹系数影响较大；凹陷的回弹系数随着加载深度的增大呈非线性增大；

②随着压头半径的增大，回弹系数不断减小，即在相同的施加深度下，压头半径越大，回弹量也越大，但增大的幅度有减小的趋势；

③随着管道壁厚的增大，回弹系数增大，即管道的径厚比越大，凹陷在压头卸载后的回弹系数越小；

④操作内压对管道的回弹系数影响较大，在加载相同深度时，内压越大，回弹量越小。

（2）内压作用下的回弹影响因素分析

①凹陷深度对回弹系数的影响较大，凹陷的回弹系数随着凹陷深度的增加而减小；

②回弹系数随压头半径增大而增大，但其对内压卸载后的回弹系数影响较小，如压头半径为150 mm的凹陷回弹系数比压头半径为50 mm的回弹系数大0.018，凹陷深度仅相差0. 55 mm；

③当管径不变时，凹陷回弹系数随着管道径厚比的增大而增大；

④凹陷回弹系数随着内压的增大而增大。

(1) 通过 Zeinoddini M 等的试验验证了利用有限元仿真模拟能够合理地反映管道凹陷的形成及回弹过程，故利用有限元模拟的计算结果来对凹陷管道回弹系数进行研究是有效的。

(2) 外载卸去后，凹陷回弹系数变化范围在0.3～0.8之间。在相同条件下，凹陷回弹系数随压头加载深度增大而增大；随着压头半径、径厚比、工作内压的增大而减小。内压卸去后，凹陷回弹系数变化范围在1.05～1.3之间。在相同条件下，凹陷的回弹系数随着凹陷深度的增加而减小；随着压头半径、径厚比、工作内压的增大，回弹系数增大；所研究的管材由于弹性模量相差不大，故对凹陷回弹系数几乎没有影响。

(3) 基于数值模拟结果，采用非线性回归分析拟合得到单纯凹陷管道的回弹系数计算公式，为外载荷卸载后和内压卸载后的凹陷深度计算提供了一定的参考依据。

落石是中国山区和丘陵地区常见的一种地质灾害，很多学者都对落石灾害进行了研究。Woltjer M 等指出通过模拟再现崩塌事件时必须考虑森林次冠层和落石间的相互作用问题，Dorren LKA 等提出了用于估算下垫面森林减少的落石冲击能量的计算公式，通过考虑斜坡表面障碍物的最大高度和落石半径建立了土体切向动力恢复系数的估算公式，Zambrano OM等建立了大块落石运动速度的计算公式，Crosta GB等发现斜坡表面落石运动轨迹的侧向扩散敏感性决定于地形的宏微特性，Vilajosana I等通过现场试验对落石的冲击信号进行了研究，Pichler B等通过室外试验，通过落石冲击坑的深度、落石的几何尺寸和落石高度来计算落石冲击力和冲击时间的计算公式。Kawahara S 等分析了垫层的密度和厚度对落石冲击力的影响，黄润秋等通过实验探讨了平台对滚石停积作用，何思明视垫层材料为弹塑性，推导了滚石冲击压力计算公式。 Dorren LKA 等用GIS 技术对落石的致灾区范围进行了研究。黄润秋等通过现场敏感性滚石试验，发现滚石运动速度与滚石形状、滚石质量和滚石启动方式、斜坡植被特征、坡面长度等因子相关，杨其新等通过室内实验提出了落石冲击力计算经验公式。唐红梅等将危岩的运动路径分为 4个阶段，运用恢复系数参考值来估算落石运动路径，何思明等通过试验研究了滚石坡面冲击回弹规律。

落石碰撞回弹系数是正确估算落石运动轨迹的重要参数，由于落石问题的复杂性，采用理论方法研究落石的恢复系数的难度非常大，特别是碎石土垫层影响因子更复杂，文中基于室内落石模型试验，考虑碎石土垫层的 4 种土石比下的 12 种干密度，不同的落石高度获得的冲击力波，通过小波消噪处理，获取最大冲击力试验值；根据 Hertz 碰撞理论，冲击过程能量转化，推到了落石冲击力最大公式。通过试验值反算各种土石比碎石土垫层的回弹系数的均值和最大值。

由Hertz碰撞理论是基于正碰撞建立的，而危岩失稳冲击大部分都是斜碰撞，按图2《碰撞分析的力学模型》模式进行简化，忽略切向冲击的影响，切向速度仅提供水平位移，使危岩体由A运动到B，则B到C可等效为正碰撞过程。基于冲击过程中能量转化的分析，用回弹系数考虑冲击过程中的能量损失，剩下的能量就可认为是动能与完全弹性应变能之间的转化。如将受冲击体视作线弹性体，可把落石冲击视为两物体体间的正碰撞。落石密实度由疏松变为密实时，回弹系数逐渐加大，土石比为4∶6时，回弹系数无论是平均值或最大值，均高于其它3 种土石比，当为密实状态时回弹系数最大值可取达0.314，土石比为3∶7的回弹系数最小，疏松状态下的均值为0.258，最大值为0.266。此结论与文献的值趋于一致，更加细化了碎石土垫层多种状态下的回弹系数。为偏于安全考虑，建议在落石运动路径计算时取大值。

（1）选取影响落石碎石土垫层的回弹系数的主因素：落石高度、落石质量、垫层土石比、含水率、密实度状态、落石入射角。进行室内模型落石冲击力试验，获得4种土石比下的12种干密度在5种高度下的落实冲击频谱，通过小波消噪处理，获得了各种情况下的最大冲击力。

（2）基于Hertz碰撞理论，通过冲击过程能量转化的分析，用回弹系数考虑冲击过程中的能量损失，剩下的能量是动能与完全弹性应变能之间的转化，获得了落石最大冲击力计算式。

（3）通过试验获得的最大冲击力试验值、变形模量和泊松比，代入最大冲击力公式，反算获得了碎石土垫层4种土石比下的12种干密度的回弹系数的最大值和均值图。研究发现，碎石土回弹系数，土石比为4∶6时回弹系数无论是平均值或最大值，均高于其它3种土石比，当为密实状态时回弹系数最大值可取达0.314，土石比为3∶7的回弹系数最小，疏松状态下的均值为0.258，最大值为0.266为偏于安全考虑，建议在落石运动路径计算式取大值。

（4）在后续研究中，依据碰撞理论建立的最大冲击力公式，应把垫层视为弹塑性介质进一步深入细化研究。