圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。这一定理叫做圆周角定理。该定理反映的是
圆周角与
圆心角的关系
定理内容
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同一圆内同弧或
等弧所对的圆周角相等。
定理证明
已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：
如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
∴OA=OC
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：
如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO(等边对等角)
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(
三角形的外角等于两个不相邻两个
内角的和)
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3：
如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB
∵OA、OB、OC、是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO（
等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC)
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
看情况1的图，圆心角∠AOB=180度，圆周角是∠ACB，
显然因为∠OCA=∠OAC=∠BOC/2
∠OCB=∠OBC=∠AOC/2
所以∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠AOC）/2=90度
所以2∠ACB=∠AOB
圆心角大于180度的情况呢？
看情况3的图，圆心角是（360度-∠AOB），圆周角是∠ACB，
只要延长AO交园于点D，由圆心角等于180度的情况可知∠ACD=∠ABD=90度
根据情况3同理可证：∠BOC=2∠BAC=2∠BDC
根据情况1和情况3同理可证：∠AOC=2∠ADC=2∠ABC
所以∠ACB+∠ADB=∠ACB+∠ADC+∠BDC=∠ACB+∠ABC+∠BAC=180度
即∠ACB=180度-∠ADB
由情况2可知：∠AOB=2∠ADB
所以360度-∠AOB=2（180度-∠ADB）=2∠ACB
定理推论
1.在
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。
2.半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
3.圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的
内对角。